在数学中，一个级数\scriptstyle \sum_{i \in \mathcal{I}} a_i无条件收敛于一个特定值\beta，是指对任意小的差别\epsilon，都会存在\scriptstyle \mathcal{I}中的一个子集\scriptstyle \mathcal{S}，使得对所有的包含\scriptstyle \mathcal{S}的集合\scriptstyle \mathcal{T}，里面的元素加起来的和与\beta之间的差距都小于\epsilon。
\left| \sum_{i \in \mathcal{T}} a_i - \beta \right| \le \epsilon
当集合\scriptstyle \mathcal{I}是可数集合的时候，无条件收敛等价于说“任意排列级数项的顺序都会收敛”，具体来说。一个级数 \sum_{n=1}^\infty x_n无条件收敛于一个特定值\beta，当且仅当对任意的从自然数到自然数的置换\sigma，级数\sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)}都收敛。
当\scriptstyle \mathcal{I}是不可数的集合时，无条件收敛也称为网收敛。
定义
设X为一个拓扑向量空间，I为一个指标集，满足对任意i \in I，x_i \in X。
级数\textstyle \sum_{i \in I} x_i被称为无条件收敛到x \in X的，如果：
- 指标集I_0 :=\{i\in I: x_i\ne 0\}是可数集；
- 任意I_0 :=\{i\in I: x_i\ne 0\}的排列满足下列关系：\sum_{i=1}^\infty x_i = x.
与绝对收敛的关系
无条件收敛是定义在装备了距离的赋范向量空间中定义的。在赋范向量空间中还有另外一类收敛，称为绝对收敛。绝对收敛的定义是：一个级数 \sum_{n=1}^\infty x_n绝对收敛，当且仅当实数列：
: \sum_{n=1}^\infty \| x_n \|
收敛。
对于通常的实数级数或复数级数，无条件收敛和绝对收敛是等价的。在一般的有限维的巴拿赫空间中，两者也是等价的概念。而对于更一般的情况，绝对收敛能够推出无条件收敛，但反之无条件收敛并不能推出绝对收敛。
参见
*收敛
*绝对收敛
*条件收敛
参考来源
- Ch. Heil: [http://www.math.gatech.edu/~heil/papers/bases.pdf 基底理论入门]
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