极限 (数学)
极限（）是函数在自變量無限變大或無限變小或在某個區間時所接近的值，也是數學分析或微積分的重要基础概念，连续和导数都是通过极限来作定义。極限分為描述一个序列的下標愈來越大时的趋势（序列極限），或是描述函数的自变量接趨近某個值時的函数值的趋势（函數極限）。 函数极限可以推广到网中，而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关。 概念 数列极限 以数列a_n = \frac{1}{n}为例，直觀上随着n的增大，a_n越来越接近0，于是可以…
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上极限和下极限
]] 在微积分学中，上極限和下極限（）是指數列極限的上极限和下极限，可以大致想像為數列极限的上下界。舉例來說，數列 \{(-1)^n\}_{n=1}^{\infty} 的上極限為 1，下極限為 -1。 函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。 定义 序列(x_n)的上极限定义是 :\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,…
振荡 (数学)
数学中，函数或序列的振荡是用于量化序列或函数在接近无穷大或某一点时，其极值之间的变化程度的数字。与极限类似，有好几种定义将这一只管概念转化为适合数学处理的形式：实数序列的振荡、实值函数在一点的振荡，以及函数在区间（或开集）上的振荡。 定义 序列的振荡 令(a_n)为实数序列。则序列的\omega(a_n)振荡可定义为(a_n)的上下极限之间的差（可能是无穷大）： :\omega(a_n) = \limsup_{n\to\infty} a…
夾擠定理
夾擠定理（），又稱夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理，是有關函數的極限的数学定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，则第三個函數在該點的極限也相同。 定义 設I為包含某點a的區間，f,g,h為定義在I上，可能不包含a点的函數。若對於所有屬於I而不等於a的x，有： g(x) \leq f(x) \leq h(x) \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a}…
Ε-δ语言
ε-δ语言，或極限的(ε, δ)定義（）是一种在数学分析中仅使用（有限多的）实数值来定义极限的方法。 历史背景 由牛顿和莱布尼茨创立的微积分，使用了无穷小（小于任何正实数的正实数）和无穷大（大于任何实数的数）等无法在实数范围内定义的概念。这样的状态一直持续到了18世纪，在欧拉将微积分大幅发展时仍未解决。当时的数学家在发展他们的理论时都没有考虑过发散和收敛的严密的定义，导致他们常常得出错误的结论。 进入19世纪，柯西、波尔查诺等人试图根据…
洛必达法则
洛必達法則（又稱罗比塔法则）（，）是一种利用導數來計算具有不定型極限的方法。該法則以法國數學家纪尧姆·德·洛必达的名字命名，但實际上是由瑞士數學家約翰·伯努利所發現。 敘述 洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令c \in \bar{\mathbb{R}}（擴展實數），兩函數f(x), g(x)在以x=c為端點的開區間可微，\lim_{x\to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}\in \bar{\mathbb{R…
不定式 (數學)
在微積分和數學分析的其他分支中，不定式（），又稱未定式，是指這樣一類極限，其在按極限的運算規則進行代入後，還未能得到足夠信息去確定極限值。 这个术语最初由柯西的学生在19世紀中葉提出。常見的不定式有：\frac00,~\frac{\infty}{\infty},~0\times\infty,~1^\infty,~\infty-\infty,~0^0\text{ 和 }~\infty^0。 處理計算未定式的值常見的方法為使用羅必達法則。 …
收敛矩阵
线性代数中，收敛矩阵是在求幂过程中收敛到零矩阵的矩阵。 背景 矩阵T的幂随次数增加而变小时（即T的所有项都趋近于0），T收敛到零矩阵。可逆矩阵A的正则分裂会产生收敛矩阵T。A的半收敛分裂会产生半收敛矩阵T。将T用于一般的迭代法，则对任意初向量都是收敛的；半收敛的T则要初向量满足特定条件才收敛。 定义 n阶方阵T若满足 {{NumBlk|::|\forall i=1,\ 2,\ \dots,\ n,\ j=1,\ 2,\ \dots,\ …
累次极限
在n元函数中，由各变量依某种次序相继地各自趋于极限而得出的极限，称为累次极限。 定义 为简单起见，以讨论二元函数f(x,y)为限。假设变量x,y的变动区域D是这样：x可以(与y无关的)取集X内的任意数值，X以不属于它的点a作为聚点，同样y可以(与x无关的)在集Y内变动，Y以不属于它的点b作为聚点。这样区域D可以记为X\times Y。 若对Y内任一固定的y，函数f(x,y)(它将只是x的函数)在x\to a时有极限存在，则这极限。一般地…
子序列极限
在数学中，序列的子序列极限是某个它的子序列的极限。它同于聚集点。 某个序列的所有子序列极限的集合的上确界叫做上极限，类似的，这种集合的下确界叫做下极限。详情参见上极限和下极限。 可以证明如果 (X,d) 是度量空间，并且有柯西序列使得有子序列收敛于某个 x，则这个序列也会聚于 x。