夾擠定理

夾擠定理（），又稱夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理，是有關函數的極限的数学定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，则第三個函數在該點的極限也相同。

定义
設I為包含某點a的區間，f,g,h為定義在I上，可能不包含a点的函數。若對於所有屬於I而不等於a的x，有：

• g(x) \leq f(x) \leq h(x)
• \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L

則\lim_{x \to a} f(x) = L。

g(x)和h(x)分別稱為f(x)的下界和上界。

a若在I的端點，上面的極限是左極限或右極限。
對於x \to \infty，這個定理還是可用的。

例子
有关正弦函数的极限
对于 \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac {1} {x} ，

在任何包含0的區間上，除了x=0，f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}均有定義。

對於實數值，正弦函數的絕對值不大於1，因此f(x)的絕對值也不大於x^2。設g(x) = -x^2, h(x) = x^2：

: -1 \le \sin\frac {1} {x} \le 1
: -x^2 \le x^2 \sin\frac {1} {x} \le x^2
: g(x) \le f(x) \le h(x)

\lim_{x \to 0} \ g(x) = \lim_{x \to 0} \ h(x) = 0，根據夾擠定理

: \lim_{x \to 0} f(x) = 0 。
对于 \lim_{x \to 0} \frac {\sin x} {x}，

首先用幾何方法證明：若 0 ，\cos x 。

稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。C在OD上，使得AC垂直OD。過A作單位圓的切線，與OD的延長線交於E。

由定義可得 x=\angle AOD=arc AD，\tan x = AE。

: AC
: \sin x
: \frac{\sin x}{x}
: arc AD
: x
: \cos x

因為\lim_{x \to 0^{+}} \cos x = 1，根據夾擠定理

:\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin x}{x} = 1。

另一邊的極限可用這個結果求出。

高斯函數
高斯函數的積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。
一般高斯函數的積分是I(a) = \int_{0}^a e^{-x^2}\,dx，現在要求的是I(\infty) = \int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx。

被積函數對於y軸是對稱的，因此I(\infty)是被積函數對於所有實數的積分的一半。

(2I)^2 = \left[2 \int_{0}^a e^{-x^2} dx \right] ^2 = \left[ \int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right] ^2 = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)} dx dy

這個二重積分在一個(-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)的正方形內。它比其內切圓大，比外接圓小。這些可用極坐標表示：

: \int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta \le (2I)^2 \le \int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta
: \pi (1-e^{-a^2}) \le (2I)^2 \le \pi (1-e^{-2a^2})
: \lim_{a \to \infty} \pi \left(1-e^{-a^2}\right) = \lim_{a \to \infty} \pi \left(1-e^{-2a^2}\right) = \pi \vdash [2I(\infty)]^2 = \pi
: \lim_{a \to \infty} (2I)^2 = \pi
: I(\infty) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

證明
極限為0的情況
若\forall x \in \mathbb R，g(x)=0 ，而且 \lim_{x \to a} h(x) = 0 。

設 \varepsilon > 0，根據函數的極限的定義，存在\delta > 0使得：若 0 ，則|h(x)| 。

由於
0 = g(x) \le f(x) \le h(x)，故|f(x)| \le |h(x)|。

若 0 ，則|f(x)| \le |h(x)| 。於是， \lim_{x \to a} f(x) = 0 。

一般情況
g(x) \le f(x) \le h(x)

0 \le f(x) - g(x) \le h(x) - g(x)

當x \to a：
: h(x) - g(x) \to L-L = 0
: 根據上面已證的特殊情況，可知f(x) - g(x) \to 0。
: f(x) = [f(x) - g(x)] + g(x) \to 0 + L = L。
参考