洛必达法则

洛必達法則（又稱罗比塔法则）（，）是一种利用導數來計算具有不定型極限的方法。該法則以法國數學家纪尧姆·德·洛必达的名字命名，但實际上是由瑞士數學家約翰·伯努利所發現。

敘述
洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令c \in \bar{\mathbb{R}}（擴展實數），兩函數f(x), g(x)在以x=c為端點的開區間可微，\lim_{x\to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}\in \bar{\mathbb{R}}，並且g'(x) \neq 0。

如果 \lim_{x \to c}{f(x)}=\lim_{x \to c}{g(x)}=0 或 \lim_{x \to c}=\lim_{x \to c}=\infty 其中一者成立，則稱欲求的極限\lim_{x\to c}{\frac{f(x)}{g(x)}}為未定式。

此時洛必达法则表明：

\lim_{x\to c}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}。

對於不符合上述分數形式的未定式，可以通過運算轉為分數形式，再以本法則求其值。以下列出數例：

注意：不能在数列形式下直接用洛必達法則，因為對於離散變量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。

證明
下面仅给出 \lim_{x \to a}{f(x)}=\lim_{x \to a}{g(x)}=0, \, g'(a) \neq 0 的证明。

设两函數f(x)及g(x)在a 點附近连续可导，\ f(x)及\ g(x)都在 a 點連續，且其值皆為 0 ，
:f(a) = 0;\; g(a) = 0, \qquad \lim_{x \to a} f(x) = 0;\; \lim_{x \to a} g(x) = 0
为了叙述方便，假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面，两函数的导数比值在 a 点存在，记为
:\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L.

由極限的定义，对任何一个 \epsilon > 0（試想像y軸），都存在\eta > 0（試想像x軸），使得对任意的a - \eta \leqslant x \leqslant a + \eta, \,\, x \neq a，都有：
: L - \epsilon\leqslant \frac{f'(x)}{g'(x)} \leqslant L + \epsilon
而根据柯西中值定理（逆定理），对任意的a - \eta \leqslant x \leqslant a + \eta, \,\, x \neq a，都存在一个介于a 和x之间的数\xi，使得：
:

因此，
:极限 \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} .

例子
:

:

:

:\lim_{x\to 0}{e^x-1-x \over x^2}
=\lim_{x\to 0}{e^x-1 \over 2x}
=\lim_{x\to 0}{e^x \over 2}={1 \over 2}

:
\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}
= \lim_{x \to \infty} \frac{\ \frac{1}{2 \sqrt{x}}\ }{\frac{1}{x}}
= \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2}
= \infty

:\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x}
=\lim_{x\to\infty}{x^n \over e^x}
=\lim_{x\to\infty}{nx^{n-1} \over e^x}
=n\lim_{x\to\infty}{x^{n-1} \over e^x}= 0

:\lim_{x\to 0+} (x \ln x) =\lim_{x\to 0+}{\ln x \over \frac{1}{x}}
=\lim_{x\to 0+}{\frac{1}{x} \over -\frac{1}{x^2}}
=\lim_{x\to 0+} -x = 0

:

:

参阅
*极限

参考文献
来源
*

• [https://baike.baidu.com/item/%E6%B4%9B%E5%BF%85%E8%BE%BE%E6%B3%95%E5%88%99/7646700 洛必达法则-百度百科] [2025-10-07]

参考