上极限和下极限

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在微积分学中，上極限和下極限（）是指數列極限的上极限和下极限，可以大致想像為數列极限的上下界。舉例來說，數列 \{(-1)^n\}_{n=1}^{\infty} 的上極限為 1，下極限為 -1。
函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。

定义
序列(x_n)的上极限定义是

:\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\inf\{\,\sup\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}；

或者

:\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{m\geq n}x_m\right)。

同样的，序列x_n的下极限定义是

: \liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\,\inf\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}；

或者

:\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right)。

这些定义在任意的偏序集都适用，只需要上确界和下确界存在。
在完全格裡，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当\liminf x_n和\limsup x_n都存在，那么

:\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n。

上极限和下极限也记为\varlimsup_{n\rightarrow\infty} x_n和\varliminf_{n\rightarrow\infty} x_n。

实数数列
实数集 R 的数列对微积分很重要。R 不是完備格，但可以加入正负无穷以得到完備全序集 [-\infty,+\infty]，形成完備格。那么在 [-\infty,+\infty] 中数列 (x_n)
收敛当且仅当 \liminf x_n = \limsup x_n，而这时 \lim x_n 等于上面的共同值。

若實數數列 (x_n) 的上極限為實數，那麼上極限是最小的實數 a，使得對任意小的正實數 \epsilon，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 n\ge N，都有 x_n 。換言之，對任何大於上極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 (x_n)_{n\ge N} 的上界。

若實數數列 (x_n) 的下極限為實數，那麼下極限是最大的實數 b，使得對任意小的正實數 \epsilon，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 n\ge N，都有 x_n > b - \epsilon。換言之，對任何小於下極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 (x_n)_{n\ge N}的下界。

設 (x_n) 是整數數列。若其上極限為實數 a，由於 \lfloor a\rfloor 也符合上述條件，故此 a 必是整數。在條件中取 \epsilon ，得出 a 是最小的實數，使得存在正整數 N，對所有 n\ge N，都有 x_n \le a 。因此 a 是最大的整數，使得有無限個 x_n = a 。同樣地，若其下極限為實數 b，則 b 是最小的整數，使得有無限個 x_n = b 。

若 I=\liminf x_n 和 S=\limsup x_n
，那么区间 [I,S] 不一定包含任何的 x_n，但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε]
对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 xn。区间 [I, S] 是适合这个性质的最小闭区间。

例子
*設x_n=(-1)^n\left(1+\frac 1 n\right)，則\liminf x_n=-1，\limsup x_n=1。閉區間[-1, 1]中不包含任何x_n。
*考虑数列x_n=\sin \!n。应用π的无理数性质，可以证明\liminf x_n = -1和\limsup x_n = +1。{{notetag|數列\{1,2,3,...\}取mod 2π後在[0, 2π]中是稠密的，故得出結果。由等分佈定理可知這數列在區間中是等分佈的。}}
*一个数论例子是

::\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)

:其中{p_n}是第n个素数。{{notetag|下极限的值的猜测为2——这是孪生素数猜想。然而這個下極限是否為有限，是數論中長久以來的未解問題。直到2013年，張益唐首次證明下極限的值有限，並且小於7千萬。截至2014年9月，下極限的值的上界已降至246。由整數數列的下極限性質可知，有無限多的正整數n，使得p_{n+1}-p_n不大於246。}}

集的序列
集合X的冪集P(X)是完備格。对于P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下极限也有用处。

若X_n是这样的序列，那么X的元素a属于\liminf X_n，当且仅当存在自然数n_0使得对于所有n>n_0，a在X_n裡。元素a属于\limsup X_n，当且仅当对所有自然数n_0，都存在一个指数n>n_0使得a在X_n裡。换句话说，\limsup X_n包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个n，使得它在集合X_n裡；而\liminf X_n包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有n，使得它在X_n裡。

以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合裡的最大集合：

:\inf\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcap_{m=1}^\infty}X_m。

令I_n为自X_n起的集合的下确界。那么序列I_n非递减，因为I_n \sub I_{n+1}。所以，第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限：

:\liminf_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}X_m\right)。

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并：

:\sup\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcup_{m=1}^\infty}X_m。

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个裡面）。

:\limsup_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}X_m\right)。

例子或应用可见波莱尔－坎泰利引理，柯西-阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）。

注释
引用
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