极限 (数学)
极限（）是函数在自變量無限變大或無限變小或在某個區間時所接近的值，也是數學分析或微積分的重要基础概念，连续和导数都是通过极限来作定义。極限分為描述一个序列的下標愈來越大时的趋势（序列極限），或是描述函数的自变量接趨近某個值時的函数值的趋势（函數極限）。 函数极限可以推广到网中，而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关。 概念 数列极限 以数列a_n = \frac{1}{n}为例，直觀上随着n的增大，a_n越来越接近0，于是可以…
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自動微分
在數學和計算機代數中，自動微分有時稱作演算式微分，是一種可以藉由電腦程式計算一個函數導數的方法。兩種傳統做微分的方法為： 對一個函數的表示式做符號上的微分，並且計算其在某一點上的值。 使用差分。 使用符號微分最主要的缺點是速度慢及將電腦程式轉換成表示式的困難。此外，很多函數在要計算更高階微分時會變得複雜。 使用差分的兩個重要的缺點是捨棄誤差及數值化過程和相消誤差。此兩者傳統方法在計算更高階微分時，都有複雜度及誤差增加的問題。自動微分則解…
莱布尼茨表示法
（1646-1716），德国哲学家、数学家，也是微积分中广泛使用的数学符号以他命名。]] 在微积分中，莱布尼茨表示法（名字源于17世纪德国哲学家和数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨）使用符号和分别表示和的无穷小增量，类似于用和分别表示和的有限增量。 考虑是变量的函数，即 = 。对的导数（后来被视为极限）： : \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\De…
微分表示法
在微分学中，微分并没有统一的表示方法。莱布尼茨、牛顿、拉格朗日和阿尔博加斯特等数学家提出了多种记号，表示函数或因变量的导数。实际使用中，视不同情况使用不同记号。专业领域，例如多元微积分、张量分析或向量微积分中的偏导数，则通常使用其特殊符号，例如下标符号或∇运算符。下面列出了最常用的微分符号（及其逆运算，即反微分或不定积分）。 莱布尼茨表示法 戈特弗里德·莱布尼茨的记号广泛运用于数学领域。当方程表示因变量和自变量之间的函数关系时，常常使用…
时间导数
时间导数是函数对时间的导数，通常解释为函数值的变化率。 时间变量通常写作t 。 记号 时间导数的记号有很多种。除了常用的莱布尼茨记号（\frac {dx} {dt}） 在物理学中，还有一种简写记号（牛顿表示法）是“上点” \dot{x} 二阶时间导数可以写成 \frac {d^2x} {dt^2} ，简写为\ddot{x} 更一般地，对于向量v : \mathbf v = \left[ v_1,\ v_2,\ v_3, \ldots \…
导数
的斜率。]] 导数（）是微积分学中的一個概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率（即函数在这一点的切线斜率）。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数f的自变量在一点x_0上产生一个增量h时，函數输出值的增量與自變量增量h的比值在h趋于0时的極限如果存在，即為f在x_0处的导数，记作f'(x_0)、\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)或\left.\frac{\mat…
數值微分
數值微分是數值方法中的名詞，是用函數的值及其他已知資訊來估計一函數導數的演算法。 有限差分法 最簡單的方式是使用有限差分近似。 簡單的二點估計法是計算經過(x,f(x))及鄰近點(x+h,f(x+h))二點形成割線的斜率選擇一個小的數值h，表示x的小變化，可以是正值或是負值。其斜率為 :{f(x+h)-f(x)\over h}. 此表示法是牛頓的差商，也稱為一階均差。 割線斜率和切線斜率有些差異，差異大約和h成正比。若h近似於0，則割線…
方向导数
方向導數是分析学特别是多元微积分中的概念。一个标量场在某点沿着某个向量方向上的方向导数，描绘了该点附近标量场沿着该向量方向变动时的瞬时变化率。方向導數是偏导数的概念的推广，也是加托导数的一个特例。 定义 f:U\mapsto \mathbb{R}， 是从 \mathbb{R}^n上某个开集 U 映射到实数 \mathbb{R} 的函数。給定 U 内某点 \mathbf{x}=(x_1, \ldots, x_n)，以及任意非零向量 \ma…
对数微分法
对数微分法（）是在微积分学中，通过求某函数f的来求得函数导数的一种方法， :[\ln(f)]' = \frac{f'}{f} \quad \rightarrow \quad f' = f \cdot [\ln(f)]'. 这一方法常在函数对数求导比对函数本身求导更容易时使用，这样的函数通常是几项的积，取对数之后，可以把函数变成容易求导的几项的和。这一方法对幂函数形式的函数也很有用。对数微分法依赖于链式法则和对数的性质（尤其是自然对数），…
常微分方程
在数学分析中，常微分方程（，簡稱）是未知函数只含有一个自变量的微分方程，与之相对的是偏微分方程（partial differential equation, 简称PDE）——后者可能涉及多个自变量。 很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移s和时间t的关系就可以表示为如下常微分方程： :m\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}=f(s) 其中m是物体的质量，f(…
可微分编程
可微分编程是一种编程范型，在其中数值计算程序始终可通过自动微分来求导数。这允许了对程序中的参数的，通常通过梯度下降。可微分编程广泛用于各种领域，特别是科学计算和人工智能。各种尝试一般可归入两组之中： 基于静态、编译图的方式，比如TensorFlow 1、Theano和MXNet。它们意图允许良好的并易于伸缩成大系统，但是它们的静态本质，限制了交互性和能够轻易建立的程序类型，例如难于构建涉及循环或递归的那些程序，还有使得用户难以针对他们的…
双曲角
雙曲角是指在笛卡儿坐标平面上，由原點\left( 0, 0 \right)出發的兩條射線與標準雙曲線xy = 1相交處\left( x, 1/x \right)及\left( 1, 1 \right)之間的角。這個雙曲角的量級是等於這個雙曲線扇形的面積，相等於\ln x。在日常生活中，雙曲角較少有應用之處，一般只用於工程或數學運算中。 與圓角不同的是：雙曲角的範圍並沒有界限；這是因為雙曲角的值與自然對數相關，而這亦與調和級數的本質相關。…
微分学
微分学（）是微積分学的一部份，是通过导数和微分来研究曲线斜率、加速度、最大值和最小值的一门学科，也是探討特定數量變化速率的學科。微分学是微積分的二個主要分支之一。 微分学主要研究的主題是函數的導數、相關的標示方式（例如微分）以及其應用。函數在特定點的導數可以說明函數在此輸入值附近的變化率。尋找導數的過程即為微分。若以圖示表示，函數在某一點的微分是函数图形在那一點的切線斜率（前提是在那一點的導數存在而且有定義）。針對單實數變數的實值函數而…
流数法
《流数法》（）是由艾萨克·牛顿在1671年完成的数学作品，在牛顿去世后的1736年公开发表。 流数是牛顿对于导数的称法。由于伦敦大瘟疫，1665至1667年剑桥大学暂时关闭，牛顿遂在伍尔索普庄园完成了流数法的发明，但当时他没有公开发表此方法（无独有偶，他的著作《自然哲学的数学原理》里的研究成果也是在这个时间完成的，但此后多年一直在牛顿的笔记中）。牛顿发明微分学基础之后7年（1666年牛顿残存的文稿有写到诸如「流数」、「流数法」的字样），…
二階導數
的二階導數是常數。]] 微积分中，函數 f 的二階導數（或）是其导数的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用： :\boldsymbol{a} = \frac{\mathrm d\boldsymbol{v}}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d^2\boldsymbol{x}}{\mathrm dt^2}, 其…
隐函数
在數學中，隱式方程（）是形同f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0的關係，其中f是多元函數。比如單位圓的隱式方程是x^2+y^2-1=0。 隱函数（）是由隱式方程間接定義的函數，比如 y=\sqrt{1-x^2} 是由 x^2+y^2-1=0 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如y=\cos(x)。 隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。 例子 反函数 隐函数…
鞍點
鞍點（）指一個非局部極值點的駐點。鞍點這詞語來自於不定二次型x^2 - y^2\,的二維圖形，像個馬鞍：在x-軸-{方向}-往上曲，在y-軸-{方向}-往下曲。 数学描述 廣義而說，一個光滑函數（曲線、曲面或超曲面）的鞍點鄰域的曲線、曲面或超曲面，都位於马鞍点點的切線的不同邊。 检验 检验二元实函数F(x,y)的驻点是不是鞍点的一个简单的方法，是计算函数在这个点的黑塞矩阵：如果該矩陣行列式小于0，则该点就是鞍点。例如，函数z=x^2-y…
驻点
驻点（）或稳定点在數學，特別在微積分中是指函數在一點处的一階導數為零，该点即函数的驻点。 （藍色），這圖像的驻點都是局部極大值或局部極小值。]] 也就是說若 p 為駐點則 : \left.\frac{dy}{dx}\right|_p=0 \, 在這一點，函數的輸出值停止增加或減少。 对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴即水平切线。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。 值得注意的是，一个函数的驻点不一定是这个函数的极值点；…
柯西中值定理
柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。 内容 如果函数f(x)及g(x)满足 #在闭区间[a,b]上连续； #在开区间(a,b)内可微分； #对任意x\in (a,b),g'(x)\neq 0； 那么在(a,b)内至少有一点\xi (a，使等式 :\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} 或 :(f(b)-f(a))g\,'(\xi…
微分
函数的微分（）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。 微分在数学中的定义：由y是x的函数(y=f(x))。从简单的平面直角坐标系来看，自变量x的变化量趋近于0时(\frac\mathrm d{\mathrm dx})，因变量y的变化量也趋近于0，但x和y的变化量都趋近于0。当x有极小的变化量时，这称为x的微分。 当某些函数\textstyle f的自变量\text…