二階導數

的二階導數是常數。]]

微积分中，函數 f 的二階導數（或）是其导数的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用：

:\boldsymbol{a} = \frac{\mathrm d\boldsymbol{v}}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d^2\boldsymbol{x}}{\mathrm dt^2},

其中 \boldsymbol a 為加速度，\boldsymbol v 為速度，t 為時間，\boldsymbol x 為位置，而 \mathrm d 表示瞬時的差值（又稱「delta」值）。最後一式 \tfrac{\mathrm d^2\boldsymbol{x}}{\mathrm dt^2} 是位置 \boldsymbol x 對時間的二階導數。

繪製函数图形時，二階導數描述曲線的曲率或凹凸性。若函數的二階導數為正，則其圖像是向上彎，像隻杯（\cup）。反之，若其二階導數為負，則向下彎，像頂帽（\cap）。

二階導數的冪法則
連續兩次用一階導數的，則會推導出二階導數的冪法則，如下所示：

: \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left[x^n\right] = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[x^n\right] = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[nx^{n-1}\right] = n\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[x^{n-1}\right] = n(n - 1)x^{n-2}.

公式對任意實數 n 成立。

記法
函數 f 的二階導函數常記為 f，其於 x 處取值為 f(x)。換言之，
:f* = \left(f'\right)',
其中 ' 表示一階求導。若用表示導數，則因變數 y 關於自變數 x 的二階導數記為
:\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}.
此種寫法的理由是，\tfrac{\mathrm d}{\mathrm d x} 表示對 x 求導，從而求導兩次應寫成：
:\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right) \,=\, \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} .

其他記法
如前段所記，二階導數標準的萊布尼茲記法為 \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}。然而，無法視之為純代數符號作運算。意思是，雖然看似兩個微分相除組成的分數，但是無法拆分、抵銷等。不過，可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則。倘若視 \frac{\mathrm d y}{\mathrm dx} 為兩微分之商，則求導時，根據商法則應有：

:\begin{align}
y*(x) &= \left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)' \\
&= \frac{ (\mathrm d y)' \cdot \mathrm dx - \mathrm dy \cdot (\mathrm dx)'}{(\mathrm d x)^2}\\
&= \frac{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} (\mathrm d y) \cdot \mathrm dx - \mathrm dy \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm dx }{(\mathrm d x)^2}\\
&= \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} - \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dx^2}.\end{align}

上式中，y*(x) 為二階導數，但 \tfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} 則不然。\mathrm du 表示微分算子施用於 u 的結果，即 \mathrm d(u)，而 \mathrm d^2u 表示微分算子疊代兩次的結果，即 \mathrm d(\mathrm d(u))。最後 \mathrm du^2 是先微分再平方，即 (\mathrm d(u))^2。

若採此寫法（並依上段解讀各符號含義），則二階導數各項可以自由操作，與其他代數項作運算。例如，二階導數的反函數公式，可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的链式法则亦然。不過，運算上的方便，與更換符號的不便，孰輕孰重，仍待定論。

例
考慮
:f(x) = x^3,
運用冪法則，f 的導數 f' 由下式給出：
:f^{\prime}(x) = 3x^2.
f 的二階導數即是對導數 f' 再次求導的結果，由下式給出：
:f^{\prime\prime}(x) = 6x.

另一個例子，考慮正弦函數 \sin。有
:\sin'(x) = \cos (x),
而再次求導後，得到
:\sin*(x) = \cos'(x) = -\sin (x).
換言之，正弦函數的二階導數是自身的相反數。

與圖像的關係
凹向
函數 f 的二階導數，描述其圖像凹的方向和程度，即凹性（）。但是，有時二階對稱導數存在，則函數仍沒有（平常的）二階導數。

右側欲求極限的分式，可理解成的差商：
:\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.
故其極限可視作序列二階差分的連續版本。

然而，上述極限存在並不推出函數 f 二階可導。該極限僅是二階導數存在時，計算該導數的一種方法，但並非其定義。反例有符号函数 \sgn，其定義為：

:\sgn(x) = \begin{cases}
-1, & \text{若 }\ x 0. \end{cases}

符號函數在原點不連續，從而不可導，尤其並非二階可導。但是，在 x=0 處，二階對稱導數存在：

:\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{\sgn(0+h) - 2\sgn(0) + \sgn(0-h)}{h^2} &= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) - 2\cdot 0 + \sgn(-h)}{h^2} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) + (-\sgn(h))}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0.
\end{align}

二次近似
正如導數與线性近似密切相關，二階導數也與二次近似如影随形。某函數 f 於某點的二次近似，是一個二次函数，與 f 在該點處具有一樣的一、二階導數。函數 f 於 a 附近的二次近似可寫成：
:f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12 f*(a)(x-a)^2.
函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式。

本徵值與本徵函數
因為求導運算為線性，所以求導兩次亦可視為函數空間上的線性算子，從而可以研究其譜。換言之，可求微分方程 v* = \lambda v 的函數解 v（本徵向量）與常數 \lambda（本徵值）。對於許多種邊界條件，可以明確求出。

舉例，以閉區間 [0,L] 為定義域，邊界採用齊次狄利克雷条件（即 v(0)=v(L)=0），則諸本徵值為 \lambda_j = -\tfrac{j^2 \pi^2}{L^2}，對應本徵向量（亦稱本徵函數）v_j 由
: v_j(x) = \sqrt{\tfrac{2}{L}} \sin\left(\tfrac{j \pi x}{L}\right)
給出。此處 v*_j(x) = \lambda_j v_j(x)，j 為任意正整數。

其他情況的解，見。

高維推廣
黑塞方陣
二階導數的高維推廣，其一是同時考慮全體二階偏导数 \tfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}。對於三元函數 f: \mathbb R^3 \to \mathbb R，二階偏導數包括

:\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\; \frac{\partial^2 f}{\partial z^2},

以及混合偏導數

:\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}.

還有其他次序的混合偏導數，如 \tfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}，但由二階導數的對稱性，衹要 f 滿足特定條件（如二階偏導數處處連續），則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是，各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣，稱為黑塞方陣（或）。該方陣的本徵值適用於多變量情況的二階導數檢驗（稱為）。

拉普拉斯算子
另一種常見推廣，則是衹考慮對同一個變量的二階導數，再求和，得到拉普拉斯算子（或）。拉氏微分算子記作 \nabla^2 或 \Delta。以三維情形為例，定義為
:\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
函數的拉氏算子等於梯度的散度，亦是前述黑塞方陣之跡。

參見

• 啁啾度——某訊號瞬時相位的二階導數（瞬時頻率的一階導數）。

註
參考文獻
延伸閱讀
紙本
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網上
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