微分

函数的微分（）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

微分在数学中的定义：由y是x的函数(y=f(x))。从简单的平面直角坐标系来看，自变量x的变化量趋近于0时(\frac\mathrm d{\mathrm dx})，因变量y的变化量也趋近于0，但x和y的变化量都趋近于0。当x有极小的变化量时，这称为x的微分。

当某些函数\textstyle f的自变量\textstyle x有一个微小的改变\textstyle h时，函数的变化可以分解为两个部分。

一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量\textstyle h，可以表示成\textstyle h和一个与\textstyle h无关，只与函数\textstyle f及\textstyle x有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在\textstyle h上的值。

另一部分是比\textstyle h更高阶的无穷小，也就是说除以\textstyle h后仍然会趋于零。当改变量\textstyle h很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在\textstyle x处的微分，记作\displaystyle f'(x)h或\displaystyle \textrm{d}f_x(h)。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。

在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量\textstyle h映射到变化量的线性部分的线性映射\displaystyle \textrm{d}f_x。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

一元微分
定义
设函数y = f(x)在某区间\mathcal{I}内有定义。对于\mathcal{I}内一点x_{0}，当x_{0}变动到附近的x_{0}+\Delta x（也在此区间内）时，如果函数的增量\Delta y = f(x_{0}+ \Delta x) - f(x_{0})可表示为
\Delta y = A \Delta x + o( \Delta x)（其中A是不依赖于\Delta x的常数），而o( \Delta x)是比\Delta x高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x_{0}是可微的，且A \Delta x称作函数在点x_{0}相应于自变量增量\Delta x的微分，记作\textrm{d}y，即\textrm{d}y = A \Delta x，\textrm{d}y是\Delta y的线性主部。

通常把自变量x的增量\Delta x称为自变量的微分，记作\textrm{d}x，即\textrm{d}x = \Delta x。

和导数的关系
微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分\textrm{d}x，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数y = f(x)的微分又可记作\textrm{d}y = f'(x)\textrm{d}x。

几何意义
设\Delta x是曲线y = f(x)上的点P在横坐标上的增量，\Delta y是曲线在点P对应\Delta x在纵坐标上的增量，\textrm{d}y是曲线在点P的切线对应\Delta x在纵坐标上的增量。当\left| \Delta x \right|很小时，\left| \Delta y - \textrm{d}y \right|比\left| \Delta x \right|要小得多(高阶无穷小)，因此在点P附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

例子
设有函数f : x \mapsto x^2，考虑它从某一点x变到x + \textrm{d}x。这时，函数的改变量f(x +\textrm{d} x) - f(x)等于：
:f(x+\textrm{d} x) - f(x)= (x + \textrm{d} x)^2 - x^2
:= 2x \cdot \textrm{d}x + (\textrm{d}x)^2 = A\textrm{d}x + o(\textrm{d}x)
其中的线性主部：Adx = 2xdx，高阶无穷小是o(\textrm{d}x)= (\textrm{d}x)^2。
因此函数\textstyle f在点\textstyle x处的微分是\textrm{d}y = 2x\textrm{d}x。函数的微分与自变量的微分之商\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} = 2x = f^{\prime}(x)，等于函数的导数。

:\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(ax^n)}{\mathrm{d}x}，尤其y=ax^n
:=nax^{(n-1)}

以下有一例子：
當方程式為y=2x^2時，就會有以下的微分過程。
:\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
:=\frac{\mathrm{d}2x^2}{\mathrm{d}x}
:=2 \cdot 2x^{(2-1)}
:=4x

微分法则
和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数u、v可微，那么：
*\mathrm{d}(au + bv) =\mathrm{d}au+\mathrm{d}bv= a\mathrm{d}u + b\mathrm{d}v
*d(uv) = udv + vdu
*d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vdu - udv}{v^2}
*若函数y(u)可导，那么d[y(u)] = y'(u)du
极值
多元函数微分
当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数，但偏導數只對單一自變量微分），但仍然有微分的概念。

定义
设f是从欧几里得空间Rn（或者任意一个内积空间）中的一个开集\Omega射到Rm的一个函数。对于\Omega中的一点x及其在\Omega中的邻域\Lambda中的点x+h。如果存在线性映射A使得对任意这样的x+h,
: \lim_{h \to 0} \left( \frac \right) = 0
那么称函数f在点x处可微。线性映射A叫做f在点x处的微分，记作\textrm{d}f_x。

如果f在点x处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。

当函数在某个区域的每一点x都有微分\textrm{d}f_x时，可以考虑将x映射到\textrm{d}f_x的函数：
: \textrm{d}f : x \mapsto \textrm{d}f_x
这个函数一般称为微分函数。

性质
*如果f是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
*在Rn（或定义了一组标准基的内积空间）裡，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：
:设f是从Rn射到Rm的函数，f = (f_1, f_2, \cdots , f_m)，那么：
:\textrm{d}f_x = J_f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}。
具体来说，对于一个改变量：h = (h_1, h_2, \ldots , h_n) = \sum_{i=1}^n h_i e_i，微分值：
:\textrm{d}f_x(h) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \begin{pmatrix}
h_1 \\
\vdots \\h_n
\end{pmatrix} = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} h_j\right) e_i
*可微的必要条件：如果函数f在一点x_0处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)都存在，但反之不真。
*可微的充分条件：如果函数f在一点x_0的雅克比矩阵的每一个元素\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)都在x_0连续，那么函数在这点处可微，但反之不真。

例子
函数 f : (x, y) \mapsto \left(x^2 + y^2, (1 - x^2 - y^2)x -y, x - (1 - x^2 - y^2)y \right)是一个从\mathbb{R}^2射到\mathbb{R}^3的函数。它在某一点(x, y)的雅可比矩阵为：
:J_f(x,y) = \begin{bmatrix} 2x & 2y \\
1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\
1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix}
微分为：\textrm{d}f_{(x, y)} : h \mapsto J_f(x,y)(h)，也就是：
:\textrm{d}f_{(x, y)} : h = \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 2x & 2y \\
1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\
1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2xh_1 + 2yh_2 \\
(1 - 3x^2 - y^2)h_1 -(2xy +1)h_2 \\
(1 + 2xy)h_1 -(1 - x^2 - 3y^2)h_2 \end{pmatrix}

微分与微分形式
如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点x给出一个近似描述函数性质的线性映射\textrm{d}f_x，而微分形式对区域\mathbf{D}内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式：\omega(x):\mathbf{TD}_x \longrightarrow \mathbb{R}。在坐标记法下，可以写成：
:\omega(x) = \sum_{1 \le i_1 \le \cdots \le i_k \le n} a_{i_1 \cdots i_k}(x) \textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}
其中的\textrm{d}x^{i}是i-射影算子，也就是说将一个向量v射到它的第i个分量v^{i}的映射。而\textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}是满足：
:\textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}(v_{1}, \cdots v_{k}) = \begin{vmatrix} v_{1}^{i_1} & \cdots & v_{1}^{i_k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{k}^{i_1} & \cdots & v_{k}^{i_k} \end{vmatrix}
的k-形式。

特别地，当f是一个从Rn射到R 的函数时，可以将\textrm{d}f_x写作：
: \textrm{d}f_x = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) \textrm{d}x^{i}
正是上面公式的一个特例。

参见
*微分学
*微积分
*导数
*积分
*偏导数
*外微分
*泰勒公式

参考来源
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