导数列表
以下的列表列出了许多函数的导数。f 和g是可微函数，而别的皆为常数。用这些公式，可以求出任何初等函数的导数。 一般求导法则 ;線性法则 :{\mbox{d}(Mf)\over\mbox{d}x}=M{\mbox{d}f\over\mbox{d}x};\qquad [Mf(x)]'=Mf'(x) :{{\mbox{d}(f\pm g)}\over{\mbox{d}x}}={\mbox{d}f\over\mbox{d}x}\pm{\mbox…
标签：#微分学
共 34 篇文章
線性化
数学上的線性化（linearization）是找函数在特定點的线性近似，也就是函數在該點的一階泰勒级数。在动力系统研究中，線性化是分析非線性微分方程系統或是非線性離散系統，在特定平衡点局部穩定性的一種方法。 此方法常應用在工程学、物理学、经济学及生态学的應用中。 函數的線性化 函数的線性化為線性函數。針對函數y = f(x)，若要用在任意點x = a下的值及其圖形斜率來進行近似時，假設f(x)在[a, b]（或[b, a]）區間內可微，…
线性近似
在数学中，线性近似就是用线性函数对普通函数进行近似。这个线性函数称为仿射函数。 例如，有一个实数变量的可导函数 f，根据 n=1 的泰勒公式 : f(x) = f(a) + f\ '(a)(x - a) + R_2 其中 R_2 是余数。舍去余数就是线性近似： : f(x) \approx f(a) + f\ '(a)(x - a) 当 x 无限接近于 a 的时候这个等式成立。右侧的表示是 f 在点 (a, f(a)) 处的切线，因此这…
全微分
在微积分中，函数f在某一点的全微分（）是指该函数在该点附近关于其自变量的最佳线性近似。与偏微分不同，全微分反映了函数关于其所有自变量的线性近似，而非单个自变量。 全微分可視為單變數函數的微分在多變數函數上的推廣：单变量函数的全微分与其微分的定義相同；而多變數函數在某點的全微分為一線性映射，通常可用矩陣或向量表示。例如，对于二元函数 \textstyle f(x, y)，设f在点 (x_0,y_0) 的某个邻域内有定义，\scriptst…
梯度
表示，越暗表示越大的数值，而其相应的梯度用藍色箭头表示。]] 在向量微积分中，梯度（）是一种关于多元导数的概括。平常的一元（单变量）函数的导数是标量值函数，而多元函数的梯度是向量值函数。多元可微函数f在点P上的梯度，是以f在P上的偏导数为分量的向量。 就像一元函数的导数表示这个函数图形的切线的斜率，如果多元函数在点P上的梯度不是零向量，則它的方向是这个函数在P上最大增长的方向、而它的量是在这个方向上的增长率。 梯度向量中的幅值和方向是与…
拐点
函數的拐點]] 拐點（）或稱-{zh-cn:反曲点; zh-tw:拐點;}-，是一條连续曲線由凸轉凹，或由凹轉凸的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。 決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。 定義 若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。 若該曲線圖形的函數在某点的二阶導數為零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。這是尋找拐點時最實用的…
可微函数
可微分函数（）在微积分学中是指那些在定义域中所有点都存在导数的函数。可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。 一般来说，若X0是函数f定义域上的一点，且f′(X0)有定义，则称f在X0点可微。这就是说f的图像在(X0, f(X0))点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。 可微性与连续性 连续，但在任一点都不可微]] 若f在X0点可微，则f在该点必连续。…
光滑函数
光滑函数（）在数学中特指无穷可导的函数，不存在尖点，也就是说所有的有限阶导数都存在。例如，指数函数就是光滑的，因为指数函数的导数是指数函数本身。 若一函数是连续的，则称其为C^0函数；若函数存在导函数，且其導函數連續，則稱為连续可导，記为C^1函数；若一函数n阶可导，并且其n阶导函数连续，则为C^n函数（n\geq 1）。而光滑函数是对所有n都属于C^n函数，特称其为C^\infty函数。 按照要求构造光滑函数 构造在给定区间外为零但在…
泛函导数
在数学和理论物理中，泛函导数是方向导数的推广。后者对一个有限维向量求微分，而前者则对一个连续函数（可视为无穷维向量）求微分。它们都可以认为是简单的一元微积分中导数的扩展。数学里专门研究泛函导数的分支是泛函分析。 定义 设有流形 M 代表（连续/光滑/有某些边界条件等的）函数 φ 以及泛函 F： ::F\colon M \rightarrow \mathbb{R} \quad \mbox{or} \quad F\colon M \righ…
林家翹-钱学森方程
林-钱方程（Lin-Tsien equation）是林家翹-钱学森和创立的描述可压缩流体中物体跨音速运动的非线性偏微分方程 : 2u_{tx}+u_xu_{xx}-u_{yy} = 0. \, 行波解 利用Maple中的软件包TWS_solution可得林-钱方程的多种行波解 u(x,y,t)=TWS_sol := {u(x, y, t) = _C1+(-(1/2)ln(tanh(_C3+_C4x+_C5y+_C6t)+1)+(1/2)…
费马引理
费马引理是实分析中的一个定理，以皮埃尔·德·费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。 需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点不是极值，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分最大值和最小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。 定理 设函数f(x)…
微分的線性
在微积分中，函数的任何线性组合的导数等于函数的导数的相同线性组合，此属性称为微分的线性（linearity of differentiation）、线性法则（rule of linearity）、或微分的叠加法则。导数的基本属性是将两个简单的微分法则封装在一起：求和法则（两个函数之和的导数是导数的和）和常数法则（函數的常數倍的導數是該函數的導數的常數倍）。因此，可以说微分作用是线性的，或者微分算子是线性的算子。 說明 設 和 為函數，同…
莱布尼兹公式
莱布尼兹公式可以指： 牛顿-莱布尼兹公式：定積分可以用反導函數計算（微積分第二基本定理）。 π的莱布尼茨公式：將π/4寫成單位分數的（帶正負號）無窮和。 行列式的萊布尼茨公式：行列式的一種定义 莱布尼兹法则：高阶导数的求法
Q导数
Q导数也称为杰克逊导数，乃是一般导数的Q模拟，由英国数学家创立。 定义 函数f(x)的q-导数定义如下： :\left(\frac{d}{dx}\right)_q f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}. 或书写为 D_qf(x). :D_q= \frac{1}{x} ~ \frac{q^{d~~~ \over d (\ln x)} -1}{q-1} ~, 当as q → 1时，化为寻常的导数, → d⁄dx, 关系式…