歐拉函數 (複變函數)
在數學上，歐拉函數的定義如下 :\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k) 此函數得名由萊昂哈德·歐拉。歐拉函數是典型的q級數及模形式函數，也是描述组合数学及複分析之間關係的典型範例。 性質 歐拉函數的的倒數1/\phi(q)展開成形式幂級數，其對應的係數p(k)恰好是k的分割函數，亦即 :\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k 其中p(k)為k的分割函數。 五…
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共 19 篇文章
Q指数
Q指数是指数函数的Q模拟，定义如下 :e_q(z)= \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n (1-q)^n}{(q;q)_n} = \sum_{n=0}^\infty z^n\frac{(1-q)^n}{(1-q^n)(1-q^{n-1}) \cdots (1-q)} 其中(q;q)_n=(1-q^n)(1-q^{n-1})\cdots (1-q) 是 Q阶乘幂 :\left(\frac{d}{dz}\right)_q…
QΓ函数
qΓ函数（q-Gamma function）是Γ函数的q模拟 \Gamma_q(z)=\frac{(q;q)_\infty(1-q)^{1-z}}{(q^z;q)_\infty} 其中:(a;q)_\infty 等符号是Q阶乘幂 \Gamma_q(1)=\Gamma_q(2)=1 n!_q=\Gamma_q(n+1) \Gamma_q(z+1)=\frac{1-q^2}{1-q}\Gamma_q(z) 参考文献 Frank Oliver…
Q正弦函数
q正弦函数是正弦函数的q模拟 sin_q(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(1-q)^{2n+1}(-1)^n*x^{2n+1}}{(q;q)_{2n+1}} 其中的符号:(q;q)_{2n+1}是Q阶乘幂 参考文献 Frank Oliver,NIST Handbook of Mathematical Functions, p422, Cambridge University Press, 2010
正交多项式的阿斯基方案
正交多项式的阿斯基方案是1985年阿斯基和威尔逊首先提出的关于正交多项式的分类方案，后经科伊克伊克等学者扩充以包括基本超几何多项式. ;4F3: 威尔逊 | 拉卡 ;3F2: 连续双哈恩 | 连续哈恩 | 哈恩 | 双重哈恩 ;2F1: 梅西纳-珀拉泽克多 | 雅可比 | 伪雅可比 | 梅西纳 | 克拉夫楚克多项式 ;2F0/1F1: 拉盖尔 | 贝塞尔 | 查理耶 ;1F0: Hermite 基本超几何多项式序列 ;4\phi3: 阿…
QBeta函数
qBeta函数是B函数的q模拟 :B_q(a,b)=\frac{\Gamma_q(a)\cdot \Gamma_q(b)}{\Gamma_q(a+b)} 其中\Gamma_q(a)是QΓ函数。 當b > 0且a \neq 0, -1, -2, \ldots時，該函數亦可以和q階乘冪定義： :B_q(a, b) = \int_0^1 x^{b-1} \frac{(qx;q)_\infty}{(q^a x;q)_\infty}\mathrm…
罗杰斯多项式
罗杰斯多项式又称连续q超球面多项式是一个以超几何函数定义的超几何正交多项式 : C_n(x;\beta|q) = \frac{(\beta;q)_n}{(q;q)_n}e^{in\theta} {}_2\phi_1(q^{-n},\beta;\beta^{-1}q^{1-n};q,q\beta^{-1}e^{-2i\theta}) 其中 x = cos(θ).即\theta= arccos(x) 极限关系 Q梅西纳-帕拉泽克多项式→连续…
小q勒让德多项式
小q勒让德多项式(Little q-Legender polynomials)是一个以基本超几何函数定义的正交多项式 P_n(x|q)=\;_{2}\phi_1\left(\begin{matrix} q^{-n} & q^{n+1} \\ q \end{matrix} ; q,qx \right) 极限关系 小q勒让德多项式→勒让德多项式 \lim_{q \to 1}p_{n}(x|q)=P_{n}(1-2x) 图集 参考文献
连续q勒让德多项式
连续勒让德多项式是一个以基本超几何函数定义的正交多项式 P_n(x|q)=\;_{4}\phi_3\left(\begin{matrix} q^{-n} & q^{n+1} & q^{1/4}e^{i\theta} & a^{1/4}e^{-i\theta} & \\ q & -q^{1/2} &-q \end{matrix} ; q,q \right) 极限关系 令连续q勒让德多项式 q->1 得勒让德多项式 \lim_{q \to …
Q阿佩尔函数
q阿佩尔函数（q-Appell function）又名q阿佩尔多项式（q-Appell polynomials）是数学家Jackson创立的阿佩尔函数的q模拟 《美国国家标准局数学函数手册》中给出的定义如下 q-阿佩尔函数是二变数超几何函数，共四个： \Phi^{(1)}(a;b,b';c;x,y)=\sum_{m,n>0}\frac{(a;q)_{m+n}(b;q)_{m}(b';q)_{n}x^my^n}{(q;q)_{m}(q;q…
Q导数
Q导数也称为杰克逊导数，乃是一般导数的Q模拟，由英国数学家创立。 定义 函数f(x)的q-导数定义如下： :\left(\frac{d}{dx}\right)_q f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}. 或书写为 D_qf(x). :D_q= \frac{1}{x} ~ \frac{q^{d~~~ \over d (\ln x)} -1}{q-1} ~, 当as q → 1时，化为寻常的导数, → d⁄dx, 关系式…
Q-模拟
在数学里，尤其是组合数学和特殊函数领域，一个定理、等式或者表达式的*q-模拟*是指在引入一个新的参数q后当q→1时原定理、等式或表达式的极限。最早地研究得较为深入的q-模拟是 19世纪被引入的基本超几何级数。 q-模拟在包括分形、多重分形, 混沌动力系统的熵表达在内的多个研究领域都有应用。另外，在量子群 和 q-变形 代数的研究中也有应用。 "经典" q-模拟开始于莱昂哈德·欧拉的研究工作，后来由F. H. Jackson 以及其他人所…
杰克逊q贝塞尔函数
杰克逊q贝塞尔函数是英国数学家杰克逊在20世纪初创立的3个特殊函数，它们是贝塞尔函数的q模拟。定义如下 杰克逊q贝塞尔函数是通过阶乘幂和基本超几何函数定义的： : J_\nu^{(1)}(x;q) = \frac{(q^{\nu+1};q)_\infty}{(q;q)_\infty} (x/2)^\nu {}_2\phi_1(0,0;q^{\nu+1};q,-x^2/4) : J_\nu^{(2)}(x;q) = \frac{(q^{\…
Q梅西纳-帕拉泽克多项式
Q梅西纳-帕拉泽克多项式定义如下： P_{n}(x;a|q)=a^{-n}e^{in\phi}\frac{a^2;q_n}{(q;q)_n}_3\Phi_2(q^-n,ae^{i(\theta+2\phi)},ae^{-i\theta};a^2,0|q;q) 极限关系 连续q哈恩多项式→Q梅西纳-帕拉泽克多项式 \frac{p_{n}(cos(\theta+\phi);a,0,0,a;q)}{(q;q)_{n}}=P_{n}(cos(\…
Q贝塞尔多项式
q-贝塞尔多项式，也称q-贝塞尔函数，其通过基本超几何函数定义： :y_{n}(x;a;q)=\;_{2}\phi_1 \left(\begin{matrix} q^{-N} & -aq^{n} \\ 0 \end{matrix} ; q,qx \right) 正交关系 \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{a^k}{(q;q)_n}q^{k+1 \choose 2}y_{m}(q^k;a;q)y_{n}(q^k;a;q)…
离散q-埃尔米特I多项式
离散q-埃尔米特多项式是以超几何函数定义的正交多项式 :\displaystyle h_n(x;q)=q^{\binom{n}{2}}{}_2\phi_1(q^{-n},x^{-1};0;q,-qx) = x^n{}_2\phi_0(q^{-n},q^{-n+1};;q^2,q^{2n-1}/x^2) = U_n^{(-1)}(x;q) 图集 参考文献 *
阿拉-萨拉姆-迟哈剌多项式
阿拉-萨拉姆-迟哈剌多项式(Al-Salam-Chihara polynomials)是一个以基本超几何函数定义的正交多项式 Q_n(x;a,b;q)=\frac{(ab;q)_{n}}{a^n}\;_{3}\phi_2\left(\begin{matrix} q^-n & ae^i\theta & ae^-i\theta \\ ab & 0 \end{matrix} ; q,q \right) 极限关系 阿拉-萨拉姆-迟哈剌多项式→连…
连续q雅可比多项式
连续q雅可比多项式定义如下 P_{n}^{(\alpha;\beta)}(x|q)=\frac{(q^{\alpha+1};q)_n}{(q;q;)_n} _4\Phi_{3}(q^{-n},q^{n+\alpha+\beta+1};q^{\alpha/2+1/4}e^{i\theta};q^{\alpha/2+1/4}e^{-i\theta}) 极限关系 ;连续q雅可比多项式→连续q拉盖尔多项式 \lim_{\beta \to \in…
Q余弦函数
q余弦函数是余弦函数的q模拟 cos_q(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(1-q)^{2n}(-1)^n*x^{2n}}{(q;q)_{2n}} 其中的符号:(q;q)_{2n}是Q阶乘幂 参考文献 Frank Oliver,NIST Handbook of Mathematical Functions, p422, Cambridge University Press, 2010