Q-模拟

在数学里，尤其是组合数学和特殊函数领域，一个定理、等式或者表达式的*q-模拟*是指在引入一个新的参数q后当q→1时原定理、等式或表达式的极限。最早地研究得较为深入的q*-模拟是 19世纪被引入的基本超几何级数。

q-模拟在包括分形、多重分形, 混沌动力系统的熵表达在内的多个研究领域都有应用。另外，在量子群和 q-变形代数的研究中也有应用。

"经典" q-模拟开始于莱昂哈德·欧拉的研究工作，后来由F. H. Jackson 以及其他人所扩展。

"经典" q-理论
经典 q-理论开始于非负整数的q-模拟。等式

\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^n}{1-q}=n

表示定义n的q-模拟为

[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q} = 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n - 1}.

阶乘的q-模拟，称作q-阶乘，被定义为

\big[n]_q!
=[1]_q \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q \cdot [n]_q

=\frac{1-q}{1-q} \cdot \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \cdot \frac{1-q^n}{1-q}

=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}).

[n]q! 表示逆序对的数目。如果 inv(w)表示全排列w 的逆序对，Sn表示n全排列的集合, 则有

\sum_{w \in S_n} q^{\text{inv}(w)} = [n]_q ! .

特别地, 当取极限q\rightarrow 1时就得到一般的阶乘公式。

根据q-阶乘, 可以定义 *q-二项式系数**, 也被称作高斯系数, 高斯多项式, 或高斯二项式系数:

\binom{n}{k}_q
=
\frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!}.

q-指数定义为:

e_q^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{[n]_q!}.

组合q-模拟
高斯二项式系数计算一个有限维向量空间的子空间数。令q表示一个有限域里的元素数目，则在q元有限域上n维向量空间的k维子空间数等于

\binom nk_q .

当q等于1时, 得到二项式系数

\binom nk.

参考文献

外部链接
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