在數學上，歐拉函數的定義如下
:\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)
此函數得名由萊昂哈德·歐拉。歐拉函數是典型的q級數及模形式函數，也是描述组合数学及複分析之間關係的典型範例。
性質
歐拉函數的的倒數1/\phi(q)展開成形式幂級數，其對應的係數p(k)恰好是k的分割函數，亦即
:\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k
其中p(k)為k的分割函數。
五邊形數定理是一個有關歐拉函數的恆等式，其定理如下：
:\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}.
其中(3n^2-n)/2為廣義五邊形數。
依拉馬努金恆等式（Ramanujan identity），歐拉函數和戴德金η函數有以下的關係：
:\phi(e^{2\pi i\tau})= e^{\pi i\tau / 12} \eta(\tau)
上述二個函數都有下的對稱性。
歐拉函數可以用q阶乘幂表示：
:\phi(q) = (q;q)_{\infty}.
歐拉函數的对数是其各乘項對數的和，每一項可以在q = 0處展開，得到
:\ln(\phi(q)) = -\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\,\frac{q^n}{1-q^n},
是係數為-1/n。因此歐拉函數的对数可以表示為
:\ln(\phi(q)) = \sum_{n=1}^\infty b_n q^n
其中b_n=-\sum_{d|n}\frac{1}{d}= -[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...]（參照OEIS [http://oeis.org/A000203/table A000203] ）
由於恆等式\sigma(n) = \sum_{d|n} d = \sum_{d|n} \frac{n}{d} （其中\sigma(n) 為除數函數），上式可以寫成
:\ln(\phi(q)) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma(n)}{n}\ q^n.
另外，若a,b\in\mathbb{R}^+且ab=\pi ^2，則
:a^{1/4}e^{-a/12}\phi (e^{-2a})=b^{1/4}e^{-b/12}\phi (e^{-2b}).
特殊值
以下的恆等式是來自斯里尼瓦瑟·拉马努金的筆記：
: \phi(e^{-\pi})=\frac{e^{\pi/24}\Gamma\left(\frac14\right)}{2^{7/8}\pi^{3/4}}
: \phi(e^{-2\pi})=\frac{e^{\pi/12}\Gamma\left(\frac14\right)}{2\pi^{3/4}}
: \phi(e^{-4\pi})=\frac{e^{\pi/6}\Gamma\left(\frac14\right)}{2^{{11}/8}\pi^{3/4}}
: \phi(e^{-8\pi})=\frac{e^{\pi/3}\Gamma\left(\frac14\right)}{2^{29/16}\pi^{3/4}}(\sqrt{2}-1)^{1/4}
利用五邊形數定理，將求和积分對調，再利用複數解析方式，可以得到：
: \int_0^1\phi(q)\,\mathrm{d}q = \frac{8 \sqrt{\frac{3}{23}} \pi \sinh \left(\frac{\sqrt{23} \pi }{6}\right)}{2 \cosh \left(\frac{\sqrt{23} \pi }{3}\right)-1}.
參照
- 歐拉函數（也稱為歐拉商數）
參考資料
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