Q导数

Q导数也称为杰克逊导数，乃是一般导数的Q模拟，由英国数学家创立。
定义
函数f(x)的q-导数定义如下：

:\left(\frac{d}{dx}\right)_q f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}.

或书写为 D_qf(x).

:D_q= \frac{1}{x} ~ \frac{q^{d~~~ \over d (\ln x)} -1}{q-1} ~,
当as q → 1时，化为寻常的导数, → d⁄dx,

关系式
q-导数算符是一个线性算子：
:\displaystyle D_q (f(x)+g(x)) = D_q f(x) + D_q g(x)~.

:\displaystyle D_q (f(x)g(x)) = g(x)D_q f(x) + f(qx)D_q g(x) = g(qx)D_q f(x) + f(x)D_q g(x).

:\displaystyle D_q (f(x)/g(x)) = \frac{g(x)D_q f(x) - f(x)D_q g(x)}{g(qx)g(x)},\quad g(x)g(qx)\neq 0.

若 g(x) = c x^k. 则

:\displaystyle D_q f(g(x)) = D_{q^k}(f)(g(x))D_q(g)(x).

q-导数的本征值是q-指数 eq(x).

与导数的关系
:\left(\frac{d}{dz}\right)_q z^n = \frac{1-q^n}{1-q} z^{n-1} =
[n]_q z^{n-1}

其中 [n]_q 是n的 q括号

并且 \lim_{q\to 1}[n]_q = n .

一个函数的n阶导数为：

:(D^n_q f)(0)=
\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=
\frac{f^{(n)}(0)}{n!} [n]_q!

:f(z)=\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)\,\frac{z^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty (D^n_q f)(0)\,\frac{z^n}{[n]_q!}

例子
D_{q}sin(x)={\frac {\sin \left( qx \right) -\sin \left( x \right) }{ \left( q-1
\right) x}}

D_{q}tanh(x)={\frac {\tanh \left( qx \right) -\tanh \left( x \right) }{ \left( q-1
\right) x}}

参见
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参考文献

F. H. Jackson (1908), On q-functions and a certain difference operator, Trans. Roy. Soc. Edin., 46 253-281.

Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538

Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8