广义超几何函数
广义超几何函数（generalized hypergeometric function），有时也称超几何函数，是一个用幂级数定义的函数，其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。下文中用“超几何函数”一词代指广义超几何函数，而用“高斯超几何函数”一词代指 、 时的广义超几何函数。 定义与记号 超几何函数是用幂级数定义的： :\beta_0 + \beta_1 \frac z{1!} + \beta_2 \frac{z^2}{2!} +…
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共 8 篇文章
巴恩斯积分
巴恩斯积分（），由英國數學家所推導而得，涉及Γ函数乘積的積分運算，研究複分析的工具，因芬蘭數學家亞爾馬·梅林的部份貢獻，又稱「梅林－巴恩斯积分」，與广义超几何函数高度相關。 定义如下： :B(\sigma,\mu) =\frac{\Gamma(\sigma/2+1)\Gamma(\sigma/2+1)}{2^{\mu+1}\Gamma(\sigma/2-v/2+\mu/2+1)\Gamma(\sigma/2+v/2+\mu/2+3/2)…
超几何函数
在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。 超几何级数 当c为正整数时，对于|z| \,_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty {a^{(n)} b^{(n)} \over c^{(n)}} \, {z^n \over n!} 其中 \ x^{(n)} 是遞進階乘，…
正交多项式的阿斯基方案
正交多项式的阿斯基方案是1985年阿斯基和威尔逊首先提出的关于正交多项式的分类方案，后经科伊克伊克等学者扩充以包括基本超几何多项式. ;4F3: 威尔逊 | 拉卡 ;3F2: 连续双哈恩 | 连续哈恩 | 哈恩 | 双重哈恩 ;2F1: 梅西纳-珀拉泽克多 | 雅可比 | 伪雅可比 | 梅西纳 | 克拉夫楚克多项式 ;2F0/1F1: 拉盖尔 | 贝塞尔 | 查理耶 ;1F0: Hermite 基本超几何多项式序列 ;4\phi3: 阿…
阿佩尔函数
阿佩尔函数是法国数学家（Paul Apell)在1880年为推广高斯超几何函数而创建的一组雙变数函数，定义如下 : F_1(a,b_1,b_2,c;x,y) = \sum_{m,n=0}^\infty \frac{(a)_{m+n} (b_1)_m (b_2)_n} {(c)_{m+n} \,m! \,n!} \,x^m y^n ~, : F_2(a,b_1,b_2,c_1,c_2;x,y) = \sum_{m,n=0}^\infty …
Horn函数
Horn函数（以德国数学家命名）是34个不同但都收敛的二阶（双变量）的超几何级数，由Horn在1931年逐一给出（由Ludwig Borngässer于1933年修正）。34个超几何级数被进一步分为14个完全的和20个合流的级数，此处“合流”的含义与它在单变量的合流超几何函数中的含义相同：级数对于任何有限变量都收敛；而“完全”的级数仅对于于单位圆盘内的部分变量收敛。前四个完全的Horn函数即是对应的阿佩尔超几何函数。全部14个完全的Ho…
连带勒让德函数
连带勒让德函数是连带勒让德多项式的推广。 下列连带勒让德方程的解，称为连带勒让德函数 :(1-x^2)\,y -2xy' + \left[\lambda(\lambda+1) - \frac{\mu^2}{1-x^2}\right]\,y = 0,\, 第一类连带勒让德 函数 :P_{\lambda}^{\mu}(z) = \frac{1}{\Gamma(1-\mu)} \left[\frac{1+z}{1-z}\right]^{\mu…
连续哈恩多项式
连续哈恩多项式由下列超几何函数定义： :p_n(x;a,b,c,d)= i^n\frac{(a+c)_n(a+d)_n}{n!}{}_3F_2(-n,n+a+b+c+d-1,a+ix;a+c,a+d;1) 参考文献 *