连带勒让德函数

连带勒让德函数是连带勒让德多项式的推广。

下列连带勒让德方程的解，称为连带勒让德函数
:(1-x^2)\,y* -2xy' + \left[\lambda(\lambda+1) - \frac{\mu^2}{1-x^2}\right]\,y = 0,\,

第一类连带勒让德 函数
:P_{\lambda}^{\mu}(z) = \frac{1}{\Gamma(1-\mu)} \left[\frac{1+z}{1-z}\right]^{\mu/2} \,_2F_1 (-\lambda, \lambda+1; 1-\mu; \frac{1-z}{2}),\qquad \text{for } \ |1-z|

第二类连带勒让德函数
:Q_{\lambda}^{\mu}(z) = \frac{\sqrt{\pi}\ \Gamma(\lambda+\mu+1)}{2^{\lambda+1}\Gamma(\lambda+3/2)}\frac{e^{i\mu\pi}(z^2-1)^{\mu/2}}{z^{\lambda+\mu+1}} \,_2F_1 \left(\frac{\lambda+\mu+1}{2}, \frac{\lambda+\mu+2}{2}; \lambda+\frac{3}{2}; \frac{1}{z^2}\right),\qquad \text{for}\ \ |z|>1.

参考文献

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