雅可比多项式
在数学中，雅可比多项式 （，有时也被称为超几何多项式）是一类正交多项式。它的名称来自十九世纪普魯士数学家卡爾·雅可比。 定义 雅可比多项式是从超几何函数中获得的，这个多项式列实际上是有限的： :P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!} \,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) , 其中的(\alpha…
标签：#正交多项式
共 46 篇文章
罗杰斯-斯泽格多项式
罗杰斯-斯泽格多项式（）是1926年匈牙利数学家斯泽格首先研究的在单位圆上的正交多项式，以Q阶乘幂定义如下； ::h_n(x;q) = \sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}x^k 前面几个罗杰斯-斯泽格多项式为： : h_1(x;q)= 1+x : h_2(x;q)= 1+\frac{(1-q^2)x}{(1-q)}+x^2 : h_3(x;q)= 1+\frac{(1-q^3)x…
小q拉盖尔多项式
小q拉盖尔多项式是一个以基本超几何函数定义的正交多项式 :\displaystyle p_n(x;a|q) = {}_2\phi_1(q^{-n},0;aq;q,qx) = \frac{1}{(a^{-1}q^{-n};q)_n}{}_2\phi_0(q^{-n},x^{-1};;q,x/a) 极限关系 ;大q拉盖尔多项式→小q拉盖尔多项式 在大q拉盖尔多项式中，令x \to bqx,并令b \to \infty即得小q拉盖尔多项式 \…
埃尔米特多项式
在数学中，埃尔米特多项式（Hermite polynomials）是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论裡的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。 定义 埃尔米特多项式有两种常见定义。 第一种是概率论中较为常用的形式（记作：H_n^\mathrm{prob}(x)）： :H_n^\mathrm{prob}(x…
伴随勒让德多项式
伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼： :(1-x^2)\,\frac{d^2\,y}{dx^2} -2x\frac{dy}{dx} + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0 该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的，在…
拉盖尔多项式
在数学中，以法国数学家命名的拉盖尔多项式定义为拉盖尔方程的标准解。 : x\,y + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\, 这是一个二阶线性微分方程。 这个方程只有当n非负时，才有非奇异解。拉盖尔多项式可用在高斯积分法中，计算形如\int_0^\infty f(x) dx的积分。 这些多项式（通常用L0, L1等表示）构成一个多项式序列。这个多项式序列可以用罗德里格公式递推得到。 : L_n(x)=\frac{e^x}{n!…
梅西纳-珀拉泽克多项式
梅西纳-珀拉泽克多项式是一个以超几何函数定义的正交多项式。 :P_n^{(\lambda)}(x;\phi) = \frac{(2\lambda)_n}{n!}e^{in\phi}{}_2F_1(-n,\lambda+ix;2\lambda;1-e^{-2i\phi}) :P_n^{\lambda}(\cos \phi;a,b) = \frac{(2\lambda)_n}{n!}e^{in\phi}{}_2F_1(-n,\lambda+…
拉卡多项式
拉卡多项式（Racah polynomials）是数学中以Guilio Racah命名的正交多项式，由下列广义超几何函数定义 :p_n(x(x+\gamma+\delta+1)) = {}_4F_3\left[\begin{matrix} -n &n+\alpha+\beta+1&-x&x+\gamma+\delta+1\\ \alpha+1&\gamma+1&\beta+\delta+1\\ \end{matrix};1\right]…
哈恩多项式
哈恩多项式（Hahn polynomials）是一个以德国数学家Wolfgang Hahn命名的正交多项式，由下列广义超几何函数定义： :Q_n(x;\alpha,\beta,N)= {}_3F_2(-n,-x,n+\alpha+\beta+1;\alpha+1,-N+1;1).\ 前几个哈恩多项式为 : h[5] := 1+27x/(-4\alpha-4)+3x\alpha/(-4\alpha-4)+270x^2/((-4\alpha…
阿斯基-威尔逊多项式
阿斯基-威尔逊多项式（Askey–Wilson polynomials）是一个以基本超几何函数表示的正交多项式: \frac{a^{n}p_{n}(x;a,b,c,d,|q)}{(ab,ac,ad;q)_{n}}=_4\phi_{3}(q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta};ab,ac,ad;q,q) 其中x=cos(\theta) 阿斯基-威尔逊多项式是威尔逊多项式的q模拟. 极限关…
正交多项式的阿斯基方案
正交多项式的阿斯基方案是1985年阿斯基和威尔逊首先提出的关于正交多项式的分类方案，后经科伊克伊克等学者扩充以包括基本超几何多项式. ;4F3: 威尔逊 | 拉卡 ;3F2: 连续双哈恩 | 连续哈恩 | 哈恩 | 双重哈恩 ;2F1: 梅西纳-珀拉泽克多 | 雅可比 | 伪雅可比 | 梅西纳 | 克拉夫楚克多项式 ;2F0/1F1: 拉盖尔 | 贝塞尔 | 查理耶 ;1F0: Hermite 基本超几何多项式序列 ;4\phi3: 阿…
Q梅西纳多项式
Q梅西纳多项式以基本超几何函数定义如下： M_n(q^{-x};b,c;q)=_2\Phi_1(q^{-n},q^{-x};bq;q;-q^{n+1}/c) 极限关系 ;Q梅西纳多项式→Q拉盖尔多项式; 令Q梅西纳多项式中b=q^\alpha,以及q^{-x}=cq^{\alpha}x,然后取c \to \infty即得Q拉盖尔多项式。 \lim_{c \to \infty}M_{n}(cq^{\alpha}x;q^{\alpha},c…
泽尔尼克多项式
泽尔尼克多项式是一个以1953年获诺贝尔物理学奖荷兰物理学家弗里茨·泽尔尼克命名的正交多项式，分为奇、偶两类 奇多项式： :Z^{m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\varphi) \! 偶多项式 :Z^{-m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\varphi), \! 其中 n \ge m 为非负整数， \phi为方位角 0\le\rho\…
盖根鲍尔多项式
盖根鲍尔多项式C_n^{(\alpha)}又称超球多项式，是定义在区间[-1,1]上、权函数为(1-x^2)^{\alpha-1/2}的正交多项式。它是勒让德多项式和切比雪夫多项式的推广，又是雅可比多项式的特殊情况。它以奥地利数学家Leopold Gegenbauer命名。 性质 盖根鲍尔多项式具有若干性质： 盖根鲍尔多项式可由其母函数表示 : ::\frac{1}{(1-2xt+t^2)^\alpha}=\sum_{n=0}^\inf…
罗杰斯多项式
罗杰斯多项式又称连续q超球面多项式是一个以超几何函数定义的超几何正交多项式 : C_n(x;\beta|q) = \frac{(\beta;q)_n}{(q;q)_n}e^{in\theta} {}_2\phi_1(q^{-n},\beta;\beta^{-1}q^{1-n};q,q\beta^{-1}e^{-2i\theta}) 其中 x = cos(θ).即\theta= arccos(x) 极限关系 Q梅西纳-帕拉泽克多项式→连续…
克拉夫楚克多项式
克拉夫楚克多项式以超几何函数定义如下 K_n(x;p,N)={N \choose n}^{-1}\sum_{k=0}^{n}{N-x \choose n-k}{x \choose k}(1-1/p)^k=_2F_1(-n,-x;N;1/p) 克拉夫楚克多项式的头几项是 K_0(x,p,N)= 1 K_1(x,p,N)= 1-\frac{x}{pN} K_2(x,p,N)= 1+(\frac{-2}{pN}+\frac{1}{(p^2N(…
小q勒让德多项式
小q勒让德多项式(Little q-Legender polynomials)是一个以基本超几何函数定义的正交多项式 P_n(x|q)=\;_{2}\phi_1\left(\begin{matrix} q^{-n} & q^{n+1} \\ q \end{matrix} ; q,qx \right) 极限关系 小q勒让德多项式→勒让德多项式 \lim_{q \to 1}p_{n}(x|q)=P_{n}(1-2x) 图集 参考文献
连续q勒让德多项式
连续勒让德多项式是一个以基本超几何函数定义的正交多项式 P_n(x|q)=\;_{4}\phi_3\left(\begin{matrix} q^{-n} & q^{n+1} & q^{1/4}e^{i\theta} & a^{1/4}e^{-i\theta} & \\ q & -q^{1/2} &-q \end{matrix} ; q,q \right) 极限关系 令连续q勒让德多项式 q->1 得勒让德多项式 \lim_{q \to …
斯蒂尔吉斯-维格特多项式
斯蒂尔吉斯-维格特多项式是一个以基本超几何函数定义的正交多项式 :\displaystyle S_n(x;q) = \frac{1}{(q;q)_n)}{}_1\phi_1(q^{-n},0;q,-q^{n+1}x) 极限关系 ;Q拉盖尔多项式→斯蒂尔吉斯-维格特多项式 \lim_{\alpha \to \infty}(xq^{-\alpha};q)=S_{n}(x;q) ;Q贝塞尔多项式→斯蒂尔吉斯-维格特多项式 ;Q查理耶多项式→斯…
梅西纳多项式
梅西纳多项式定义为 :M_n(x,\beta,\gamma) = \sum_{k=0}^n (-1)^k{n \choose k}{x\choose k}k!(x-\beta)_{n-k}\gamma^{-k} 梅西纳多项式的前几项为： Mx[1] := [-\beta-(1-\gamma)x/\gamma] Mx[2] := [(\gamma^2\beta^2-\beta\gamma^2)/\gamma^2+(\gamma^2-2\b…