泽尔尼克多项式

泽尔尼克多项式是一个以1953年获诺贝尔物理学奖荷兰物理学家弗里茨·泽尔尼克命名的正交多项式，分为奇、偶两类

奇多项式：

:Z^{m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\varphi) \!

偶多项式

:Z^{-m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\varphi), \!

其中 n \ge m 为非负整数，

\phi为方位角

0\le\rho\le 1 为径向距离

如果 n-m为偶数则

:R^m_n(\rho) = \sum_{k=0}^{\tfrac{n-m}{2}} \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\left (\tfrac{n+m}{2}-k \right )! \left (\tfrac{n-m}{2}-k \right)!} \;\rho^{n-2\,k}

如果n-m为奇数，则

:R^m_n(\rho) =0

泽尔尼克多项式的超几何函数表示
泽尔尼克多项式也可以表示为超几何函数

:\begin{align}
R_n^m(\rho) &= \binom{n}{\tfrac{n+m}{2}}\rho^n \ {}_2F_{1}\left(-\tfrac{n+m}{2},-\tfrac{n-m}{2};-n;\rho^{-2}\right) \\
&= (-1)^{\tfrac{n+m}{2}}\binom{\tfrac{n+m}{2}}{\tfrac{n-m}{2}}\rho^m \ {}_2F_{1}\left(1+n,1-\tfrac{n-m}{2};1+\tfrac{n+m}{2};\rho^2\right)
\end{align}

Noll 序列
Noll 用一个J数字表示 [n,m]:如下表

泽尔尼克多项式
由于
:I_j=\int_0^{2\pi} \int_0^1 Z_j^2\,\rho\,d\rho\,d\theta =k_j* \pi.

其中k_j因j而异，

:k_1 =1

:k_2 =\frac{ 1 }{4 }

:k_3 =\frac{ 1}{ 4 }

:k_4 =\frac{ 1}{3 }

:k_5 =\frac{ 1}{ 6 }

必须先归一化

令Z_j=Z_j/\sqrt(k_j)

使得

:I_j=\int_0^{2\pi} \int_0^1 Z_j^2\,\rho\,d\rho\,d\theta = \pi.

归一化泽尔尼克多项式以Noll序列排列如下：

正交性
;径向正交性
:\int_0^1 \rho \sqrt{2n+2}R_n^m(\rho)\,\sqrt{2n'+2}R_{n'}^{m}(\rho)\,d\rho = \delta_{n,n'}.
;角度正交性
:\int_0^{2\pi} \cos(m\varphi)\cos(m'\varphi)\,d\varphi=\epsilon_m\pi\delta_,
:\int_0^{2\pi} \sin(m\varphi)\sin(m'\varphi)\,d\varphi=(-1)^{m+m'}\pi\delta_;\quad m\neq 0,
:\int_0^{2\pi} \cos(m\varphi)\sin(m'\varphi)\,d\varphi=0,

其中 \epsilon_m 称为Neumann因子，其数值为 2 如果满足 m=0 ，数值为 1，如果 m\neq 0.
;径向与角度正交性
:\int Z_n^m(\rho,\varphi)Z_{n'}^{m'}(\rho,\varphi) \, d^2r =\frac{\epsilon_m\pi}{2n+2}\delta_{n,n'}\delta_{m,m'},

其中 d^2r=\rho\,d\rho\,d\varphi 为 雅可比矩阵

n-m 与 n'-m' 都是偶数.

参考文献
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• from The Wolfram Demonstrations Project.

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