伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼：
:(1-x^2)\,\frac{d^2\,y}{dx^2} -2x\frac{dy}{dx} + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0
该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的，在数学和理论物理学中有重要的意义。
因上述方程仅当 \ell 和 m\, 均为整数且满足 0 \le m \le \ell 时，才在区间 [−1, 1] 上有非奇异解，所以通常把 \ell 和 m\, 均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式；把 \ell 和/或 m\, 为一般实数或复数时方程的解称为广义勒让德函数（generalized Legendre functions）。
当 m\,= 0、\ell为整数时，方程的解即为一般的勒让德多项式。
注意当 为奇数时，连带勒让德多项式并不是多项式。
正交性
与勒让德多项式一样，连带勒让德多项式在区间 [-1,1] 上也满足正交性。
:\int_{-1}^{1} P_l^m(x) P_k^m(x)\mathrm dx = \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac 2{2l+1}\delta_{kl}
这是因为，与勒让德方程一样，连带勒让德方程也是施图姆-刘维尔型的：
:\left\{\frac{m^2}{1-x^2}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]\right\}P_l^m(x)=\lambda P_l^m(x),\quad \lambda=l(l+1),l\in\mathbb Z_0^+
正交性的另一种表述如下，它与下面提到的球谐函数有关。
:\int_{0}^\pi P_l^m(\cos\theta) P_k^m(\cos\theta)\sin\theta\mathrm d\theta = \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac 2{2l+1}\delta_{kl}
与勒让德多项式的关系
连带勒让德多项式可以由勒让德多项式求 次导得到：
:P_l^m(x)=(1-x^2)^{m/2}P_l^{(m)}(x)
等号右边的上标 () 表示求 次导。
与超几何函数的关系
连带勒让德函数（即 , 不一定要是整数）可以用高斯超几何函数表达为：
:P_\nu^\mu(z)=\frac1{\Gamma(1-\mu)}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{\mu/2}\,_2F_1(-\nu,\nu+1,1-\mu,\frac{1-z}2)
注意 为正整数 时 1- 是伽玛函数的奇点，此时等号右边的式子应该理解为当 趋于 时的极限。
负数阶连带勒让德多项式
显然连带勒让德方程在变换 →- 下保持不变，传统上习惯定义负数阶连带勒让德多项式为：
:P_l^{-m}(x)=(-1)^m\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(x),\quad m=1,\ldots,l;l\in\mathbb Z^+
容易验证，这样定义的连带勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到 为负数的情况。
注意在个别文献（如上面的图，以及球谐函数一文）中会直接取
:P_l^{-m}(x)=P_l^m(x)
本文不采用这种定义。
与球谐函数的关系
球谐函数是球坐标下三维空间拉普拉斯方程的角度部分的解，构成一组完备的基组，有着重要的意义。
采用本文中定义的连带勒让德多项式的表达式，球谐函数可以表达为：
:Y_l^m(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{(l-m)!}{(l+m)!}\frac{2l+1}{4\pi}}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi}
由连带勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系：
:\int Y_l^m(\theta,\phi)Y_{k}^{n*}(\theta,\phi)\mathrm d\Omega=\delta_{kl}\delta_{mn}
式中 d 是立体角元。
参考文献
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