多重对数函数
多重对数函数（，也称：，以數學家 Alfred Jonquière 命名）是数学中一种特殊函數。一個階數（order）為 s、自變數為 z 的多重對數函數寫做 \operatorname{Li}_s(z)。只有在 s 為某些特殊值時，多重對數函數才能簡化為初等函數，例如自然對數或有理函數。在量子統計力學中，多重對數函數出現在费米-狄拉克分佈及玻色-爱因斯坦分佈解析解的積分之解析解中，因此也稱為费米-狄拉克積分（Fermi–Dirac i…
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共 80 篇文章
拉梅函数
拉梅函数(Lame functions)是下列拉梅方程的解: ;雅可比形式 \frac{d^{2}w}{dz^2}+(A+v(v+1)k^{2}sn^{2}(z,k))w=0+ 此拉梅方程的正则奇点在复数平面的2pK+(2q+1)iK' 其中 p,q ∈Z,K代表模数为k的完全椭圆积分，K'代表模数为k'=\sqrt{1-k^2}的完全椭圆积分。 其中 k,v 都是实数，并且 0, ;代数形式 作雅可比橢圓函數变数替换s=sn^2(z,…
黎曼ζ函數
中一矩形區域之黎曼ζ函數\zeta(z)；此圖用Matplotlib程式繪圖產生，使用到定義域著色方法。]] 黎曼泽塔函數 ，写作 ，其定義如下： 設一複數 使得 ，則定義： :\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s} 它亦可以用积分定义： : \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{x ^ {s-1}}{e ^ x - 1…
斯盆司函数
斯盆司函数（英文：Spence's function）也叫二重对数函数（英文：Dilogarithm），最早由欧拉提出，定义如下： : \operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{\ln(1-u) \over u}\, \mathrm{d}u \text{, }z \in\mathbb{C} \setminus [1,\infty) 恒等式 :\operatorname{Li}_2(z)+\operatorna…
贝塞尔函数
贝塞尔函数（），是数学上的一类特殊函数的总称。通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（）。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数y(x)： :x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0 该方程的通解无法用初等函数表示。 由於贝塞尔微分方程是二階常微分方程，需要由兩個獨立的函數來表示其标准解函数。典型的是使用第一类贝塞尔函数和第…
雅克比zeta函數
雅克比zeta函數（）簡稱Z(u) ，是與橢圓積分密切相關的特殊函數。在數學定義上，是雅克比Θ函數的： :\Theta(u)=\Theta_{4}\left(\frac{\pi u}{2K}\right) :Z(u)=\frac{\partial}{\partial u}\ln\Theta(u) =\frac{\Theta'(u)}{\Theta(u)} 雅克比zeta函數也常寫成\operatorname{zn}(u,k)，其中的k為…
指数积分
在数学中，指数积分是函数的一种，它不能表示为初等函数。 定义 对于实数x，指数积分Ei(x)可以定义为： : \mbox{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}t\,\mathrm dt.\, 其中e^t为指数函数。以上的定义可以用于正数x，但这个积分必须用柯西主值的概念来理解。 对于自变量是复数的情形，这个定义就变得模棱两可了。为了避免歧义，我们使用以下的记法： : {\rm E}_1(z) = \int_…
Sinhc函数
数学上的Sinhc函数定义如下 : \operatorname{Sinhc}(z)=\frac {\sinh(z) }{z}，它是下列微分方程的一个解： : w(z) z-2\,\frac {d}{dz} w (z) -z \frac {d^2}{dz^2} w (z) =0 ;複域虚部 \operatorname{Im} \left( \frac {\sinh(x+iy) }{x+iy} \right) ;複域实部 \operator…
Tanc函数
Tanc 函数 定义如下 : \operatorname{Tanc}(z)=\frac {\tan(z) }{z} ;虚域虚部 \operatorname{Im} \left( \frac {\tan(x+iy) }{x+iy} \right) ;虚域实部 \operatorname{Re} \left( \frac {\tan \left( x+iy \right) }{x+iy} \right) ;绝对值 \left| \frac …
勒奇超越函数
勒奇超越函数是一种特殊函数，推广了赫尔维茨ζ函数和多重对数函数，定义如下 L(z,s,a)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{(a+n)^s} 特例 ;赫尔维茨ζ函数: 当勒奇函数中的z=1时，化为赫尔维茨ζ函数 L(1,s,a)=\zeta(s,a) ;多重对数函数: 当勒奇函数中a=1,则化为多重对数函数 :L(z,s,1)=Li_{s}(z) ;勒让德χ函数: 可以用勒奇超越函数表示, :\,\chi_n…
逻辑斯谛函数
邏輯斯諦函數（）是一种常见的S型函数，其函數圖像稱為逻辑斯谛曲线（）。简单的逻辑斯谛函数可用下式表示： : f(x) = \frac{L}{1 + e^{-k(x-x_0)}} 其中： : 为S形曲线中点的值； : 为曲线的最大值 : 为逻辑斯谛增长率或曲线的陡度。 当趋向于正无穷时，的值逼近L，而趋向于负无穷时，的值逼近0。 逻辑斯谛函数应用领域广泛，包括生物学（特别是生态学）、數理生物學、化學、人口学、经济学、地球科学、数学心理学、…
超越函數
數學領域，超越函數與代數函數相反，是指那些不滿足任何以多項式方程的函數，即函數不滿足以變量自身的多項式為係數的多項式方程。換句話說，超越函數就是「超出」代數函數範圍的函數，也就是說函數不能表示為自变量与常数之间有限次的加、減、乘、除和開方。 嚴格的說，關於變量z的解析函數f(z)是超越函數，如果該函數是關於變量z是代數獨立的。 對數和指數函數即為超越函數的例子，超越函數這個名詞通常被拿來描述三角函數，例如正弦、餘弦、正割、余割、正切 、…
代數函數
代數函數是指只包含常数与自变量相互之间有限次的加、減、乘、除、有理指数幂和開方六种运算的函數。非代數函數則稱為超越函數。 例子 y=x^2表示一拋物線的方程，一以x為變數的二次代數函數。 參見 代數式 解析函数 复变函数 初等函数 函数 广义函数 特殊函数及人名名词列表 函数类型列表 多項式 有理函數 特殊函数 超越函數 参考 外部链接 [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Algeb…
误差函数
在数学中，误差函数（）是一个特殊函数，符号\operatorname{erf}。误差函数在概率论，统计学以及偏微分方程中都有广泛的应用。它的定义如下： :\operatorname{erf}(x) = \frac{1}{\sqrt\pi}\int_{-x}^x e^{-t^2} \,\mathrm{d}t=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt. 分类 互补误差函数，记为 er…
向量球諧函數
向量球諧函數(Vector spherical harmonics)是應用於球坐標系的拉普拉斯方程式的向量解，是球諧函數的向量衍伸形式。在必須計算向量場的電動力學等領域中被廣泛應用。 定義 在球坐標系下，拉普拉斯算符作用在一三維向量場上可以寫為 : \nabla^2 \vec{A}(r,\theta,\phi) = 0 利用分離變數法可以將此一方程式的解分解為一系列本徵函數的線性組合 : \vec{A} = R_l (r) \mathb…
切比雪夫多项式
切比雪夫多项式（）是与棣莫弗定理有关，以递归定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示， 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式。 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。 在微分方程的研究中，帕夫努季·切比雪夫…
黎曼ξ函數
中的黎曼ξ函數 \xi(s) 。複平面中的點s，其色彩代表了該點的函數值；較暗的顏色表示其值接近於零，而色調表示了函數值的幅角。]] 數學中，黎曼ξ函數（）是黎曼ζ函數的變型，其定義是為了得到一個簡單的泛函方程式。此函數得名於波恩哈德·黎曼。 定義 愛德蒙·蘭道將黎曼原先小寫的ξ函數以被改為大寫的Ξ函數（另參見下方），而蘭道的小寫ξ函數則定義為： :\xi(s) = \tfrac{1}{2} s(s-1) \pi^{-\frac{s}{…
封閉形式
在數學上，若一個函數的表達式可以寫成常數、變數和基本函數及其之間的基本運算（加減乘除和整數冪）和這些函數的複合，則稱此種表達式為封閉形式（Closed-form）。一般會允許n次方根、指數函數、對數以及三角函數等作為基本函數，出現在封閉形式中；但何謂基本函數，可能取決於情境。 封閉形式的問題在極限、級數和積分等指名數學對象的新方式出現也隨之出現：給定一個對象和工具，一個自然的問題是在可能的狀況下找到這對象的封閉形式，也就是說，找到一個以…
沃爾什函數
. 後者每行的符號變更是連續的，可以用於頻譜分析。]] 沃爾什函數（，或称）可以被看作一個和連續類比系統的三角波相對應的系統，可以說是離散而且數位版本的三角波。和三角波不同，沃爾什函數只有部分連續。這個函數的值域只有 −1 和 +1 兩個值。有了沃爾什函數當作基礎，當我們要進行類似於傅立葉轉換的沃爾什轉換時，不需要做在虛數值域上的浮點數計算，而能夠減少計算量與誤差。 不論是三角波，或是沃爾什函數都能透過週期性延伸至整個實數空間\math…
开尔文船波
]] 尾波（）是固体在划过流体（特别是液体）表面时在尾部产生的V形传播的波，例如水鸟或船舶匀速游过水体时在水面激起的后方波纹。因为由英国的开尔文男爵——物理学家威廉·汤姆森（William Thomson，1824～1907）最先对船波进行数学研究，因此也称为开尔文船波（）。 数学原理 船形物体的尾波形状和福祿數Fr有密切关系。 Fr=\frac{V}{\sqrt{gl}} 其中g为重力常数，V是船速，l是船的长度。 令船的长度l=k\…