斯盆司函数

斯盆司函数（英文：Spence's function）也叫二重对数函数（英文：Dilogarithm），最早由欧拉提出，定义如下：

:
\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{\ln(1-u) \over u}\, \mathrm{d}u \text{, }z \in\mathbb{C} \setminus [1,\infty)

恒等式
:\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(-z)=\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2(z^2)
:\operatorname{Li}_2(1-z)+\operatorname{Li}_2\left(1-\frac{1}{z}\right)=-\frac{\ln^2z}{2}
:\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1-z)=\frac{{\pi}^2}{6}-\ln z \cdot\ln(1-z)
:\operatorname{Li}_2(-z)-\operatorname{Li}_2(1-z)+\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2(1-z^2)=-\frac {{\pi}^2}{12}-\ln z \cdot \ln(z+1)
:\operatorname{Li}_2(z) +\operatorname{Li}_2(\frac{1}{z}) = - \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{2}\ln^2(-z)

特殊值恒等式
:\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{{\pi}^2}{18}-\frac{\ln^23}{6}
:\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{6}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{{\pi}^2}{18}+\ln2\cdot \ln3-\frac{\ln^22}{2}-\frac{\ln^23}{3}
:\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{3}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{{\pi}^2}{18}+2\ln2\ln3-2\ln^22-\frac{2}{3}\ln^23
:\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{{\pi}^2}{18}+\frac{1}{6}\ln^23
:\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{8}\right)+\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{2}\ln^2{\frac{9}{8}}
:36\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)-36\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)-12\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{8}\right)+6\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{64}\right)={\pi}^2

特殊值
:\operatorname{Li}_2(-1)=-\frac{{\pi}^2}{12}
:\operatorname{Li}_2(0)=0
:\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{{\pi}^2}{12}-\frac{\ln^2 2}{2}
:\operatorname{Li}_2(1)=\frac{{\pi}^2}{6}
:\operatorname{Li}_2(2)=\frac{{\pi}^2}{4}-i\pi\ln2
:\operatorname{Li}_2\left(-\frac{\sqrt5-1}{2}\right)=-\frac{{\pi}^2}{15}+\frac{1}{2}\ln^2 \frac{\sqrt5-1}{2}
:::::::=-\frac{{\pi}^2}{15}+\frac{1}{2}\operatorname{arcsch}^2 2
:\operatorname{Li}_2\left(-\frac{\sqrt5+1}{2}\right)=-\frac{{\pi}^2}{10}-\ln^2 \frac{\sqrt5+1}{2}
:::::::=-\frac{{\pi}^2}{10}-\operatorname{arcsch}^2 2
:\operatorname{Li}_2\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)=\frac{{\pi}^2}{15}-\frac{1}{2}\ln^2 \frac{\sqrt5-1}{2}
:::::::=\frac{{\pi}^2}{15}-\frac{1}{2}\operatorname{arcsch}^2 2
:\operatorname{Li}_2\left(\frac{\sqrt5+1}{2}\right)=\frac{{\pi}^2}{10}-\ln^2 \frac{\sqrt5-1}{2}
:::::::=\frac{{\pi}^2}{10}-\operatorname{arcsch}^2 2

在粒子物理中
斯盆司函数在粒子物理领域中计算辐射校正时比较常见。此时该函数常用一个含绝对值的对数表达式定义。
:
\operatorname{\Phi}(x) = -\int_0^x \frac{\ln|1-u|}{u} \, du =
\begin{cases}
\operatorname{Li}_2(x), & x \leq 1; \\ \frac{\pi^2}{3} - \frac{1}{2} \ln^2(x) - \operatorname{Li}_2(\frac{1}{x}), & x > 1.
\end{cases}

参考文献
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