Sinhc函数

数学上的Sinhc函数定义如下

: \operatorname{Sinhc}(z)=\frac {\sinh(z) }{z}，它是下列微分方程的一个解：
: w(z) z-2\,\frac {d}{dz} w (z) -z \frac {d^2}{dz^2} w (z) =0

;複域虚部

• \operatorname{Im} \left( \frac {\sinh(x+iy) }{x+iy} \right)

;複域实部

• \operatorname{Re} \left( \frac {\sinh \left( x+iy \right) }{x+iy} \right)

;绝对值

• \left| \frac {\sinh(x+iy) }{x+iy} \right|

;一阶导数

• \frac {\cosh(z)}{z} - \frac {\sinh(z)}{z^2}

;导数实部

• -\operatorname{Re} \left( -\frac {1- (\sinh(x+iy))^2}{x+iy} +\frac{\sinh(x+iy)}{(x+iy)^2} \right)

;导数虚部
*-\operatorname{Im} \left( -\frac {1-(\sinh(x+iy))^2}{x+iy} + \frac {\sinh(x+iy)}{(x+iy)^2} \right)

;绝对值

• \left| -\frac{1-(\sinh(x+iy))^2}{x+iy}+\frac {\sinh(x+iy)}{(x+iy)^2} \right|

表示为其他特殊函数

• \operatorname{Sinhc}(z)={\frac {{{\rm KummerM}\left(1,\,2,\,2\,z\right)}}{{{\rm e}^{z}}}}

*\operatorname{Sinhc}(z)={\frac {{\it HeunB} \left( 2,0,0,0,\sqrt {2}\sqrt {z} \right) }{{
{\rm e}^{z}}}}

• \operatorname{Sinhc}(z)=1/2\,{\frac {{{\rm WhittakerM}\left(0,\,1/2,\,2\,z\right)}}{z}}

级数展开
: \operatorname{Sinhc} z \approx (1+{\frac {1}{3}}{z}^{2}+{\frac {2}{15}}{z}^{4}+{\frac {17}{315}}{z}^{6}+{\frac {62}{2835}}{z}^{8}+{\frac {1382}{155925}}{z}^{10}+{\frac {
21844}{6081075}}{z}^{12}+{\frac {929569}{638512875}}{z}^{14}+O \left( {z}^{16} \right) )

图集
参见
*Tanhc函数
*Coshc函数
*Tanc函数
*双曲正弦积分函数

参考文献