數學領域，超越函數與代數函數相反，是指那些不滿足任何以多項式方程的函數，即函數不滿足以變量自身的多項式為係數的多項式方程。換句話說，超越函數就是「超出」代數函數範圍的函數，也就是說函數不能表示為自变量与常数之间有限次的加、減、乘、除和開方。
嚴格的說，關於變量z的解析函數f(z)是超越函數，如果該函數是關於變量z是代數獨立的。
對數和指數函數即為超越函數的例子，超越函數這個名詞通常被拿來描述三角函數，例如正弦、餘弦、正割、余割、正切 、余切等。
非超越函數稱為代數函數，代數函數的例子有多項式和平方根函數。
對代數函數進行不定積分運算能夠產生超越函數，如對數函數便是在對雙曲角圍成的面積研究中，對倒數函數y=1/x不定積分得到的，以此方式得到的雙曲函數\sinh,\cosh,\tanh等皆為超越函數。
微分代數的某些研究人員研究不定積分如何產生與某類「標準」函數代數獨立的函數，例如將三角函數與多項式的合成取不定積分。
因次分析
在因次分析裡，超越函數是非常有用的，因為它們只在其引數無因次時才有意義。因此，超越函數可以是因次錯誤的顯著來源。例如，\log{(10\mbox{cm})}是個毫無意義的表示式。\log{(10\mbox{cm})}不同於\log{(5\mbox{cm}/3\mbox{cm})}和(\log{10})\mbox{cm}，后兩者是有實際意義的。
一些例子
以下列出的函數都是超越函數：除了少數特殊的情況，對於一般的x不能通過有限次代數運算求出f(x)：
:f_1(x)=x^\pi
:f_2(x)=c^x\quad\left(c\ne0,1\right)
:f_3(x)=x^x
:f_4(x)=x^{\frac{1}{x}}
:f_5(x)=\log_cx\quad\left(c\ne0,1\right)
參閱
- 超越數
- 解析函數
- 複變函數
- 廣義函數
- 特殊函數
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