拉梅函数

拉梅函数(Lame functions)是下列拉梅方程的解:
;雅可比形式
\frac{d^{2}w}{dz^2}+(A+v(v+1)k^{2}sn^{2}(z,k))w=0+
此拉梅方程的正则奇点在复数平面的2pK+(2q+1)*iK'
其中 p,q ∈Z,K代表模数为k的完全椭圆积分，K'代表模数为k'=\sqrt{1-k^2}的完全椭圆积分。

其中 k,v 都是实数，并且 0,
;代数形式

作雅可比橢圓函數变数替换s=sn^2(z,k)得拉梅方程的代数形式：

\frac{d^{2}\Lambda}{ds^2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s-h})\frac{d\Lambda}{ds}-\frac{n(n+1)s+H}{4s(s-1)(s-h)}*\Lambda=0

h=k^{-2}=\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2},

H=hA

h>1
此傅克型方程有四个正则奇点0,1,h,\infty
;魏尔斯特拉斯形式
sn z= cos \zeta

\zeta=\frac{1}{2}\pi- am z

可得

[1-(kcos \zeta)^2]\frac{d^2\Lambda}{d\Lambda^2}+k^{2}cos \zeta \sin \zeta\frac{d\Lambda}{d\zeta}+[h-n(n+1)(k cos \zeta)^2]\Lambda=0

在上列方程组 h,k,n等是实数或复数常数，而各变量为复数。
拉梅方程的本征值
对于给定的参数v,k,存在四套实数本征值h,令拉梅方程的奇数解或偶数解有2K或4K周期。

拉梅函数
与每一个本征值对应的本征函数，称为v阶拉梅函数，其记法及周期性列表于下：

其中2m,2m+1,2m+2代表在（0,2K)区间内的零点数。

拉梅函数是Heun函数的特例
Heun方程
gh := \frac{d^2(y(z)}{dz^2}+(\frac{\gamma}{z}+\frac{\delta}{z-1}+\frac{\epsilon}{z-a})\frac{d(y(z)}{dz}+(\alpha\betaz-q)y(z)/(z(z-1)(z-a)) = 0

令= \gamma = 1/2, \delta = 1/2, \epsilon = 1/2, q = -(1/4)ah, \alpha = 1/4, \beta = -v(v+1)

则化为拉梅方程

\frac{d^2(y(z)}{dz^2}+(1/2(1/z+1/(z-1)+1/(z-a)))\frac{d(y(z)}{dz}+(1/4)(ah-\nu(\nu+1)z)y(z)/(z(z-1)*(z-a))=0

拉梅方程的Heun函数解
由于拉梅方程式是Heun方程的特例，因此拉梅方程可以用HeunG函数表示
y(z) = _C1HeunG(a, -(1/4)ah, -(1/2)\nu, (1/2)*\nu+1/2, 1/2, 1/2, z)

+_C2\sqrt(z)HeunG(a, 1/4+(1/4(-h+1))a, 1+(1/2)\nu, 1/2-(1/2)\nu, 3/2, 1/2, z)
其中二个HeunG函数是线性无关的。

拉梅函数的幂级数展开
拉梅函数可以展开成幂级数形式

y(z)=\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}*z^{\rho+v}

其中\rho只能取0,1/2

;例子

y(z)={1.2+2.3\sqrt(z)-.600hz-(.383(ah-1.a-1.))z^(3/2)/a+(0.500e-1(-4.ah-4.h+ah^2+2.\nu^2+2.\nu))z^2/a+(0.192e-1(-10.a^2h+9.a^2+6.a-10.ah+9.+a^2h^2+6.\nua+6.\nu^2a))z^(5/2)/a^2+O(z^3)}

参考文献
*王竹溪 郭敦仁 《特殊函数概论》 北京大学出版 2000
*Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis 1920， Cambridge University Press
*Erdelyi, Higher Transcendental Functions Vol III