捨入誤差
舍入误差（)，是指运算得到的近似值和精确值之间的差异。比如当用有限位数的浮点数来表示实数的时候(理论上存在无限位数的浮点数)就会产生舍入误差。舍入误差是量化误差的一种形式。 如果在一系列运算中的一步或者几步产生了舍入误差，在某些情况下，误差会随着运算次数增加而积累得很大，最终得出没有意义的运算结果。 表示误差 把一个浮点数在计算机中表示，可能会引起误差，这样的误差叫做表示误差。例如： 数学表达式 精确值 近似值 误差 1/7 0.142…
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共 65 篇文章
截尾誤差
数值分析和运算科学裡的截尾誤差是因為數學過程裡的近似而產生的誤差，可能是因為無窮级数展開後只取有限項產生的誤差，或是其他運算中用有限數值代替無限產生的誤差。 例子 無窮級數 e^x可以表示為以下的無窮級數 e^x=1+ x+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!}+ \cdots 但實際上，只會計算有限項次的級數，假設只計算前三項，則 e^x\approx 1+x+ \frac{x…
理查森外推法
数值分析中，理查森外推法 }} 外部链接 [https://web.archive.org/web/20070531044601/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/RichardsonExtrapMod.html Module for Richardson's Extrapolation], fullerton.edu [http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Mat…
最小平方頻譜分析法
最小平方頻譜分析法（）是一種利用最小平方法尋找適配於資料點之最佳正弦曲線，以估算頻譜的方法。其數學原理與科學界中最常用的傅立葉分析相似。 最小平方頻譜分析法也稱為凡尼切克法（Vaníček method）、隆布法（Lomb method）或隆布—史卡構法（Lomb–Scargle method），分別取名自對其有所貢獻的、尼可拉斯·隆布（Nicholas R. Lomb）。然而，大多數以上述理論為基礎開發的方法僅適用於取樣間距相等的訊號…
逆問題
逆问题是一个关于如何将观测和测量的结果转换为物体或系统的信息的广义框架。比如，如果一个关于地球重力场的测量结果，就可以问：「利用现有的訊息，我们能否得到地球的密度分布？」。这类问题的解（即最符合测量数据的密度分布）通常就可以提供一个无法直接测量的物理量。因此，逆问题是在数学和物理学中最重要和被研究的最多的问题之一。逆问题广泛的出现在诸如计算机视觉，自然语言处理，机器学习，统计学，推论统计学，地理，医学成像（比如X射线计算机断层成像和脑电…
近似
近似（），或稱逼近，是指一個事物和另一事物極為相似卻又不相等。近似可用於許多領域（量、數值、影像或說明）。 近似最常用在數字領域，也常用在數學函數、形狀及物理定律中。 在科學上，會將一物理現象轉換為一個有相似結構的模型。當準確的模型難以應用時，會用一個較簡單的模型來近似，簡化中間的計算，例如用球棒模型來近似實際化學分子中原子的分佈。在資訊不完整，無法確切陳述特定事物時，也可以用近似的方式處理。 近似的種類會依照可以取得的資訊、需要的準確…
切比雪夫擬譜法
切比雪夫擬譜法（Chebyshev pseudospectral method）是以切比雪夫多项式為基礎的最优控制方法，是所創的擬譜最佳控制理論中的一部份。切比雪夫擬譜法和勒壤得擬譜法不同，無法立刻提供高精度的積分解。因此有二種從切比雪夫擬譜法衍生的技術，一個是Elnagar等人所提出的，另一個則是Fahroo和Ross所提出的。這兩種方式的差異是其求積的技術。現今Ross–Fahroo擬譜法較常使用，因為比較容易實現，比Elnagar…
Ross–Fahroo擬譜法
Ross–Fahroo擬譜法（Ross–Fahroo pseudospectral methods）是由和Fariba Fahroo導入的方法，屬於擬譜最佳控制中的一部份。Ross–Fahroo擬譜法的例子有擬譜knotting法、平坦擬譜法、Legendre-Gauss-Radau擬譜法以及無限時域滾動最佳控制的擬譜法 。 簡介 Ross–Fahroo擬譜法是以位移過的高斯擬譜節點為基礎，位移是靠線性變換或是非線性變換，高斯擬譜點是由…
Ross–Fahroo引理
Ross–Fahroo引理（Ross–Fahroo lemma）得名自和，是最优控制理論中的引理。 該引理提到一般而言，對偶化和离散化不能交換。若配合伴隨向量映射原理，才能交換這二個運算。 引理的敘述 連續時間的最佳控制問題有豐富的資訊。針對特定問題，應用庞特里亚金最大化原理或哈密顿-雅可比-贝尔曼方程可以找到計多有趣的性質。這些定理其有用到其變化量相對時間的連續性。若最佳控制問題離散化時，Ross–Fahroo引理指出在本質上就少了一…
吉布斯现象
在數值分析领域中，吉布斯現象（Gibbs phenomenon）是傅立葉級數對具有不連續點的週期函數進行近似時出現的振盪行為。對該函數的N項傅立葉級數部分和（由函數傅立葉級數中最低的 N 個正弦波組成）在不連續點附近會出現明顯的過衝。即使使用更多的正弦項，這種逼近誤差也只會收斂到約為跳躍高度 9% 的極限，儘管無窮傅立葉級數最終仍會幾乎處處收斂。 吉布斯現象最初是由實驗物理學家觀察到的，當時人們認為這是由於測量儀器的缺陷所致，但其實這是…
迭代学习控制
迭代学习控制（Iterative Learning Control、ILC）是一种对做重复动作的轨迹跟踪系统的控制方法。例如机器手臂控制、化工反应过程控制、试验钻探等。这些系统都具备多次準確重复同一动作的特性。其動作的目標是在有限的時間區間內，準確的追蹤給定的參考訊號r(t)。 通过使用先前动作中的数据信息，可以通过迭代寻找到合适的控制输入。这种模式理论上可以获得非常精确的跟踪轨迹，最典型的迭代学习率可以表达为： u_{k+1} = u…
貝爾曼擬譜法
貝爾曼擬譜法（Bellman pseudospectral method）是針對最优控制的擬譜法，以貝爾曼方程為基礎，是提出擬譜最佳控制中的一部份。此方法得名自理查德·貝爾曼，是由開始使用，一開始是用來求解多尺度的最佳控制問題，後來擴展到一般最佳問題的次佳解。 理論基礎 貝爾曼擬譜法的多尺度版本是以Ross–Fahroo擬譜法的譜收斂特性為基礎。因為Ross–Fahroo擬譜法會快速的以指數型式收斂，可以在只有非常少節點的情形下達到解的…
蒙地卡羅方法
蒙特卡罗方法（），也称统计模拟方法，是1940年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而提出的一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。 20世纪40年代，在科學家冯·诺伊曼、斯塔尼斯拉夫·烏拉姆和尼古拉斯·梅特罗波利斯於洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡罗方法。因为烏拉姆的叔叔经常在摩納哥的蒙特卡洛赌场输钱得名，而蒙特卡罗方法正是以概率为基础的方法。…
肯普納級數
肯普納級數（）是十進制寫法不含數字9的正整數的倒數和。用符號可寫成 : \sum_{\begin{smallmatrix}n=1 \\ n \text{缺 } 9\end{smallmatrix}}^\infty \frac{1}{n} _, 其中「缺9」意思是「十進制表示中，不含數字9」，下同。於1914年最早研究該級數。肯普納級數是由調和級數刪走含數字9的項所得，但肯普納級數收斂，調和級數則發散。肯普納證明，級數之和小於90。羅伯特…
秦九韶算法
秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶表述求解一元高次多项式的值的算法——正负开方术。它也可以配合牛顿法用来求解一元高次多项式的根。 历史 《中国科学札记》论秦九韶玲珑开方]] 19世纪初，英国数学家重新发现并证明，後世称作霍纳算法（、）。但是，19世纪英国传教士偉烈亞力 Alexander Wylie. (1815–1887) 最早对霍纳的发明权提出质疑。他在1852年著的《中国科学札记》（Jottings on the Scienc…
哈爾小波轉換
哈爾小波轉換（英語：Haar Wavelet Transform）是由數學家阿爾弗雷德·哈爾（Alfred Haar）於1910年在其論文《Zur theorie der orthogonalen funktionensysteme》中首次提出的一種正交函數系統。 作為發展最早且結構最簡單的小波轉換，哈爾小波不僅是一種能反映時變頻譜（time-variant spectrum）的訊號表示法，更為後續的離散小波轉換（Discrete Wa…
冯诺依曼稳定性分析
数值分析中, 冯诺依曼稳定性分析 (亦作傅立叶稳定性分析) 用于验证计算线性偏微分方程时使用特定有限差分法的数值稳定性，该分析方法基于对数值误差的傅立叶分解。1947年英国研究人员約翰·克蘭克和菲利斯·尼科爾森在文章中对该方法进行了简要介绍， 尔后又出现在冯诺依曼合作的文章中 。 洛斯阿拉莫斯国家实验室对该方法进行了进一步发展。 数值稳定性 数值稳定性与数值误差密切相关。使用有限差分方法进行计算时，若任意时间步的误差不会导致其后计算结果…
數值微分
數值微分是數值方法中的名詞，是用函數的值及其他已知資訊來估計一函數導數的演算法。 有限差分法 最簡單的方式是使用有限差分近似。 簡單的二點估計法是計算經過(x,f(x))及鄰近點(x+h,f(x+h))二點形成割線的斜率選擇一個小的數值h，表示x的小變化，可以是正值或是負值。其斜率為 :{f(x+h)-f(x)\over h}. 此表示法是牛頓的差商，也稱為一階均差。 割線斜率和切線斜率有些差異，差異大約和h成正比。若h近似於0，則割線…
截尾函數
在数学和计算机科学中，截尾（Truncation）是一個對小數點後數字數量的限制。 截尾和取整函數 下取整函數能為正整數截尾。對於任何数 x \in \mathbb{R}_+和 n \in \mathbb{N}_0（小數點后的位数），截尾函數被定義為： :\operatorname{trunc}(x,n) = \frac{\lfloor 10^n \cdot x \rfloor}{10^n}. 然而，负数的截尾與下取整函數的捨入方向卻恰…
線性多步法
線性多步法是一種初值問題的常微分方程数值方法。在概念上，初值問題的數位方法是由初值開始，在時間上前進一小段，求解下一個點的數值。重覆此步驟，直到要求解的區間都完成為止。 單步法（像欧拉方法）只用前一個點以及其微分來計算目前的值，單步法的龙格-库塔法會用前一個點以及和中間點中間的值來計算目前的值，不過在計算下一個值時，就不考慮之前的資訊。 多步法和單步法的差異是，多步法會考慮以前的資料，以提昇效率。因此。多步法會參考之前的數個點以及數點微…