離散小波變換
在数值分析和泛函分析领域中，离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是小波被离散采样的小波变换。与其他小波变换一样，它与傅里叶变换相比的一个关键优势是时间分辨率：它既能捕获频率信息，又能捕获位置（时间上的位置）信息。 第一個離散小波變換由匈牙利數學家哈尔發明，離散小波轉換顧名思義就是離散的輸入以及離散的輸出，但是這裡並沒有一個簡單而明確的公式來表示輸入及輸出的關係，只能以階層式架構來表示。 定義 首先…
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穩定小波轉換
穩定小波轉換（，縮寫：SWT）是小波分析的一種轉換，為離散小波變換（DWT）的變形。 穩定小波轉換可以彌補離散小波轉換因為降采样而失去的平移不變性。穩定小波轉換不同於離散小波轉換的部分，主要在於經過每一階的高通濾波器和低通濾波器之後，是將濾波器升採樣，取代離散小波轉換在經過濾波器之後的縮減取樣。 穩定小波轉換是做數據和信號的分析一種很好的工具，儘管它的運算量會因為沒有縮減取樣而较離散小波轉換多一些，但其具有平移不变性，且只需將離散小波轉…
JPEG 2000
JPEG 2000是基于小波变换的图像压缩标准，由创建和维护。JPEG 2000曾獲认为是未来取代JPEG（基于离散余弦变换）的下一代图像压缩标准。JPEG 2000文件的副檔名通常为.jp2，MIME类型是image/jp2。 JPEG 2000的压缩比更高，而且不会产生原先的基于离散余弦变换的JPEG标准产生的塊狀模糊瑕疵。JPEG 2000同时支持有损数据压缩和无损資料壓縮。另外，JPEG 2000也支持更复杂的渐进式显示和下载。…
小波分析
小波分析（）或小波轉換（）是指用有限長或快速衰減的「母小波」（）的振盪波形來表示信號。該波形受縮放和平移以匹配輸入的信號。 「小波」（）一詞由法國學者吉恩·莫莱特和亞歷克斯·格羅斯曼在1980年代早期提出。他們用的是法語詞，意思就是「小波」。後來在英語裡，「」改為「」而成了。 小波變化的發展，承襲加伯轉換的局部化思想，並且克服了傅立葉和加伯轉換的部分缺陷，小波變換提供了一個可以調變的時頻窗口，窗口的寬度（width）隨著頻率變化，頻率增…
哈爾小波轉換
哈爾小波轉換（英語：Haar Wavelet Transform）是由數學家阿爾弗雷德·哈爾（Alfred Haar）於1910年在其論文《Zur theorie der orthogonalen funktionensysteme》中首次提出的一種正交函數系統。 作為發展最早且結構最簡單的小波轉換，哈爾小波不僅是一種能反映時變頻譜（time-variant spectrum）的訊號表示法，更為後續的離散小波轉換（Discrete Wa…
分数小波变换
分数小波变换（Fractional wavelet transform，缩写：FRWT）是传统小波变换（Wavelet transform）的推广。该变换的提出改进了了小波变换和分数傅里叶变换的局限性。分数小波变换继承了传统小波变换的多分辨率特性，同时，类似于分数傅里叶变换，可以表示分数阶域的信号特征。 定义 分数傅里叶变换（FRFT）是傅里叶变换（FT）的推广，它在光学、通信、信号和图像处理方面是一个强有力的分析工具。然而，由于分数傅…
多解析度分析
多解析度分析（，縮寫：MRA）或是多尺度近似（，縮寫：MSA）是最常用來分析離散小波变换（DWT）或是驗證快速小波轉換（FWT）理論的方法。本分析方法在1989年及1998年由著作的論文提到。 定義 Lp空間L^2(\mathbb{R})的多解析度分析由一系列嵌套子空間組成 ::\{0\}\dots\subset V_1\subset V_0\subset V_{-1}\subset\dots\subset V_{-n}\subset …
高斯差
在计算机视觉中，高斯差（，简称“”）是一种将一个原始灰度图像的模糊图像从另一幅灰度图像进行增强的算法，通过DOG以降低模糊图像的模糊度。这个模糊图像是通过将原始灰度图像经过带有不同标准差的高斯核进行卷积得到的。用高斯核进行高斯模糊只能压制高频信息。从一幅图像中减去另一幅可以保持在两幅图像中所保持的频带中含有的空间信息。这样的话，DOG就相当于一个能够去除除了那些在原始图像中被保留下来的频率之外的所有其他频率信息的带通滤波器。 数学原理 …
調整函式
調整函式（） 分辨率為2-j的 f 的近似值被定義為Vj上的正交投影PVjf。 為了計算這個投影，我們必須找到Vj的標準正交基底。 定理使 Riesz 基底 {θ(t-n)}n∈Z正交化，並通過擴張和平移調整函式Φ，建構每個空間Vj的正交基底。 避免混淆分辨率2-j和尺度 2j，在這裡，分辨率的概念被丟棄，並且PVjf 為尺度2j的近似值。 定理 令 {Vj }j∈Z為多分辨率近似，並且Ø為具有傅立葉變換的調整函數 \hat{\phi}…
香农小波
在泛函分析中，香农小波（）（或Sinc小波）是由理想带通滤波器进行信号分析定义的信号分解方法。香农小波可以是实小波，也可以是复小波。 香农小波在时域局域化特性不好（时域非紧支撑），但其傅里叶变换是带限的（频域是紧支撑）。因此香农小波的时间定位性能较差，但频率定位性能良好。这些特征恰好与哈尔小波相反，因为Haar和sinc系统是彼此的傅里叶对偶。 定义 香农小波的构建从Sinc函数开始。 尺度函数 首先由sinc函数定义香农小波的尺度函数…
曲波变换
曲波变换（）是一种可以对多尺度信号进行表示的非自适应方法。作为小波变换的推广，曲波变换目前广泛的应用于诸如图像处理和科学计算等领域。 小波通过使用具有时频局域化性质的基对傅里叶变换进行了推广。对于高维信号，通过局域化朝向（Orientation），小波变换可以具有方向信息。曲波变换和包含方向信息的小波变换的区别在于，对于角度的局域化性质会随着尺度变化。 曲波变换适用于表示图像等除奇异点外光滑的信号，这些信号由具有有界曲率的曲线构成，卡通…
對偶小波
在數學上，一個對偶小波（）為小波的對偶。一般情形下，在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中，由平方可積函數(square integral function)產生的小波級數(wavelet series)具有對偶級數。然而， 對偶級數一般並不是由平方可積函數本身表示。 定義 給一個平方可積函數 \psi\in L^2(\mathbb{R}), 定義級數 \{\psi_{jk}\} 由 :\psi_{…
剪切小波
在應用數學的分析方面，剪切小波()是一個多尺度的架構，且在多變量問題中能高效率編碼有各向異性的特點。起初，為了分析及稀疏近似多維方程式f \in L^2(\R^2)，剪切小波在2006年被提出 }} 外部連結 [http://www.shearlet.org/ Shearlet homepage] [http://www.shearlab.org/ Shearlab homepage] [http://www.math.tu-berli…
快速小波轉換
快速小波轉換（）是利用數學的演算法則用來轉換在時域的波形或信號變成一系列的以構成的小而有限的波、小波。 當然，快速小波轉換本身可以很輕易地擴增它的維度以符合各種不同的需求，例如影像處理、壓縮、去除雜訊...等 S_n^{(J)} : = 2^J \left\langle {f(t),\phi (2^J t - n)} \right\rangle 前項離散小波轉換 反離散小波轉換 利用S^{(M)}且Md^{(K)}，k=M,1,...,…
Coiflet小波
Coiflet小波是英格麗·多貝西應羅納德·科夫曼的要求所設計的一種離散小波。Coiflet小波的調整函式（scaling function）及小波函式（wavelet function）能同時擁有高消失動量，且其波形接近對稱，常被用於數位訊號處理。 性質 定義 :一個（orthogonal wavelet）系統若符合以下條件，則稱為Generalized Coiflet Wavelet(GOC)。 :: \begin{array}{l…
長球波函數
在數學中，長球波函數由一個限時、限頻、與第二個限時的函數相乘而成。假定Q_T表示一個切截時間的運算器，且x=Q_T x，則x必為有限時間區間的函數，當x在[-T/2;T/2]的區間內。同理，假定P_W表示一個理想的低頻濾波器，且x=P_W x，則x必為有限頻寬區間的函數，當x在[-W;W]的區間內。透過組合上述運算子，使得Q_T P_W Q_T轉變成線性、有界且的運算式。對於n=1,2,\ldots，我們假設\psi_n為第n項的本徵函…
厄爾米特小波
埃爾米特小波由埃爾米特多項式組成，第n個埃爾米特小波來自於高斯函數的第n階導數。 物理學上的埃爾米特多項式定義為 :\ \ H_m(x)=(-1)^m e^{x^2}\frac{d^m}{dx^m}e^{-x^2}\,\! 可以用遞迴方式得到: :H_0(x)=1 :H_1(x)=2x :H_{m+1}(x)=2xH_m(x)-2mH_{m-1}(x), m=1,2,3.... 連續小波轉換的母小波可以表示成 :\psi _{a,b} …
消失矩
消失矩(Vanishing Moments)，在連續小波變換(Continuous Wavelet Transform)，是一項非常重要的參數，用來檢視母小波(Mother wavelet)是否為高頻的函數。 Vanish moment 越高，經過內積後被濾掉的低頻成分越多 在實務上，Vanish moment=5 由來 在連續小波變換中，母小波有4個主要限制如下。 1. 有值區間必須是有限的(Compact Support): ::母…
ICER
ICER是美国国家航空航天局（NASA）火星车上使用的一种基于小波分析的图像压缩文件格式，兼备有损压缩和无损压缩模式。 火星探测器勇气号（MER-A）和机遇号（MER-B）都使用了ICER。探测器上的图像压缩利用了此算法以充分利用下行链路资源。火星科学实验室支持将ICER用于其导航相机，不过其他相机都使用了其他文件格式。 美国许多火星探测器都使用ICER进行图像压缩。也有些火星探测器使用修改过的低复杂度无损压缩（Low Complexi…
複小波轉換
複小波轉換或-{zh-cn:复小波转换; zh-tw:複小波變換;}-（Complex Wavelet Transform）是一個離散小波轉換(DWT)的複數形式延伸。 它是一個二维小波變换，它提供多分辨率，稀疏表示，以及图像结构的有益特性。另外，他還提供其幅度的高度移位不变性。 在圖像處理中使用複小波最初始於1995年，由 J.M. Lina 和 L. Gagnon[https://web.archive.org/web/201603…