曲波变换（）是一种可以对多尺度信号进行表示的非自适应方法。作为小波变换的推广，曲波变换目前广泛的应用于诸如图像处理和科学计算等领域。

小波通过使用具有时频局域化性质的基对傅里叶变换进行了推广。对于高维信号，通过局域化朝向（Orientation），小波变换可以具有方向信息。曲波变换和包含方向信息的小波变换的区别在于，对于角度的局域化性质会随着尺度变化。

曲波变换适用于表示图像等除奇异点外光滑的信号，这些信号由具有有界曲率的曲线构成，卡通、几何和文字等图片都具有这样的性质，这些图片的边缘会随着图片的放大显得越来越直。然而一般的照片不具有类似的特征，它们往往在几乎所有的尺度上都有细节信息。所以在处理一般的照片时，选择具有方向信息的小波变换会在每个尺度上都具有相同的纵横比。

当图像类型适合时，曲波变换可以提供比其他小波变换更稀疏的表示。 通过假设仅使用 n 个小波作为几何测试图像的最佳逼近，并将近似误差作为 n 的函数来量化表示的稀疏性。对于傅里叶变换，均方误差的衰减速度约为 O(1/\sqrt{n})。对于包括方向性的和非方向性的一系列小波变换，均方误差的衰减速度约为 O(1/n)。而采用曲波变换则可以使均方误差的衰减速度下降到约为 O({(\log n)}^3/{n^2})。

Candès等人提出了两种离散曲波变换的快速算法，分别是基于非均匀采样傅里叶变换的Curvelet变换（Based on unequally-spaced fast Fourier transforms (USFFT)）和基于卷绕的Curvelet变换（Based on the wrapping of specially selected Fourier samples）；对于大小为n \times n的图片，二者的计算复杂度均为O(n^2 \log n)，约是快速傅里叶变换的6-10倍。

曲波的构建
为了构建曲波的基函数 \phi，并在二维频率平面提供一个平铺（tiling），以下两个方面应当得到考虑：

考虑频域的极坐标

构建的曲波基应以近似楔形的方式局部支撑

在尺度2^{-j}下，楔形元素的数量为N_j=4\cdot 2^{\lceil \frac{j}{2} \rceil}，也就是说，每经过两个圆环会使楔形元素数量加倍。

令频域的坐标\boldsymbol{\xi}=(\xi_1, \xi_2)^T，所以频域的极坐标为r=\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2 }，\omega=\arctan \frac{\xi_1}{\xi_2} 。

在极坐标下，我们假设膨胀的基本曲波为：

{\hat {\phi }}_{j,0,0}:=2^{\frac {-3j}{4}}W(2^{-j}r){\tilde {V}}_{N_{j}}(\omega ),r\geq 0,\omega \in [0,2\pi ),j\in N_{0}

为了使构建的曲波基在一个近似楔形区域上支撑，两个窗函数W和\tilde{V}_{N_j}需要是紧支撑的。我们可以简单的使W(r) 覆盖(0, \infty)，膨胀的曲波和\tilde{V}_{N_j }使得每一个圆环被\tilde{V}_{N_j }的平移覆盖。

由容许性条件可以得出：

\sum _{j=-\infty }^{\infty }\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}=1,r\in (0,\infty ).

为了利用N个楔形平铺一个圆环（N为正整数）我们需要以2\pi 为周期的非负窗\tilde{V}_{N }在区间\left[\frac{-2\pi}{N}, \frac{2\pi}{N}\right]内支撑，使得：

\sum _{l=0}^{N-1}{\tilde {V}}_{N}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=1, \omega\in\left[0, 2\pi\right)

\tilde{V}_{N }可以简单的由一个标量窗通过2\pi 周期化构建为V(\frac{N\omega}{2\pi})。

所以：

\sum _{l=0}^{N_{j}-1}\left|2^{\frac {3j}{4}}{\hat {\phi }}_{j,0,0}(r,\omega -{\frac {2\pi l}{N_{j}}})\right|^{2}=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}\sum _{l=0}^{N_{j}-1}{\tilde {V}}_{N_{j}}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}

为了完全覆盖包括零点附近区域的频率平面，我们需要定义一个低通成分\hat{\phi}_{-1}:=W_0(|\xi|)满足：

W_0^2(r)^2:=1-\sum_{j=0}^{\infty}W(2^{-j}r)^2

该部分在单位圆上支撑，此时不考虑旋转。

关于Curvelet性质、构建及其离散化的详细信息，参见。

应用

• 图像处理
• 地震勘探
• 流体力学
• 求解偏微分方程
• 压缩感知

外部链接

• [http://curvelet.org/ Curvelet.org 主页]

参考文献