調整函式（）
分辨率為2-j的 f 的近似值被定義為Vj上的正交投影PVjf。
為了計算這個投影，我們必須找到Vj的標準正交基底。
定理使 Riesz 基底 {θ(t-n)}n∈Z正交化，並通過擴張和平移調整函式Φ，建構每個空間Vj的正交基底。
避免混淆分辨率2-j和尺度 2j，在這裡，分辨率的概念被丟棄，並且PVjf 為尺度2j的近似值。
定理
令 {Vj }j*∈Z為多分辨率近似，並且Ø為具有傅立葉變換的調整函數
- \hat{\phi}(\omega)= \dfrac{\hat{\theta}(\omega)}{(\sum_{k=-\infin} ^{+\infin} |\hat{\theta}(\omega+2k\pi)|^2)^{1/2}}
其中
- \phi_{j,n}(t)= \dfrac{1}{\sqrt{2^j}} \phi(\dfrac{t-n}{2^j})
當j∈Z，Vj的正交基底為{Φj,n}n∈Z
定理證明
為了建造一個標準正交基底，我們尋找一個函數Φ∈V0。 因此，它可以在{θ(t-n)}n∈Z的基礎上擴展：
- \phi(t)= \sum_{n=-\infin}^{+\infin} a[n]\theta(t-n)
這意味著
- \hat{\phi}(\omega)= \hat{a}(\omega)\hat{\theta}(\omega)
其中 \hat{a}是週期2W的有限能量的傅立葉級數。 為了計算 \hat{a}我們表示了
頻域中{Φ(t-n)}n∈Z的正交性。 設 \bar{\phi}(t)= \phi^*(-t)。
對任意(n,p)∈Z2而言
- \begin{align}
\left \langle \phi(t-n),\phi(t-p) \right \rangle
& = \int_{-\infin}^{+\infin} \phi(t-n)\phi^*(t-p) \mathrm{d}t \\
& = \phi \star \bar{\phi}(p-n)
\end{align}
因此，只有在 \phi \star \bar{\phi}(n)= \delta[n]時，{Φ(t-n)}n∈Z是正交的。
計算此等式的傅里葉變換得到
- \sum_{k=-\infin} ^{+\infin} |\hat{\phi}(\omega+2k\pi)|^2 = 1
實際上， \phi \star \bar{\phi}(n)的傅里葉變換是 |\hat{\phi}(\omega)|^2，取樣函數可以對其傅立葉變換進行週期化。
如果我們選擇下列式子，則上式將被證實
- \hat{a}(\omega) = (\sum_{k=-\infin} ^{+\infin} |\hat{\theta}(\omega+2k\pi)|^2)^{-1/2}
其中分母具有嚴格上下限，因此a是有限能量的2W週期函數。
近似值
通過縮放正交基礎的擴展，獲得f在Vj上的正交投影
- P_{V_j}f=\sum_{k=-\infin} ^{+\infin} \left \langle f,\phi_{j,n} \right \rangle \phi_{j,n}
內積為
- a_j[n]=\left \langle f,\phi_{j,n} \right \rangle
在尺度2j處擁有離散近似。 我們可以將它們重寫為卷積形式：
- \begin{align}
a_j[n]
& = \int_{-\infin}^{+\infin} f(t) \frac{1}{\sqrt{2^j}} \phi(\frac{t-2^jn}{2^j}) \mathrm{d}t \\
& = f \star \bar{\phi}_j(2^jn)
\end{align} , with \bar{\phi}_j(t) = \sqrt{2^{-j}}\phi(2^{-j}t)
傅立葉轉換 \hat{\phi}的能量通常集中在[-π，π]中。
因此， \bar{\phi}_j(t)的傅立葉轉換 \sqrt{2^j}\hat{\phi}^*(2^j\omega)主要是在[-2-jπ，2-jπ]中，不可忽略不計。
離散近似 aj[n] 是以間隔 2j 取樣的 f 低通濾波。
參考資料
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