分数小波变换（Fractional wavelet transform，缩写：FRWT）是传统小波变换（Wavelet transform）的推广。该变换的提出改进了了小波变换和分数傅里叶变换的局限性。分数小波变换继承了传统小波变换的多分辨率特性，同时，类似于分数傅里叶变换，可以表示分数阶域的信号特征。
定义
分数傅里叶变换（FRFT）是傅里叶变换（FT）的推广，它在光学、通信、信号和图像处理方面是一个强有力的分析工具。然而，由于分数傅里叶变换使用全局核函数，它只强调了存在某些成分，而没有说明这些成分的时间定位。因此，对非平稳信号进行FRFT频谱分析时需要在时间-FRFT域进行联合分析。
对FRFT的通过引入时窗进行修改可以得到短时分数傅里叶变换（STFRFT）。STFRFT的思想是使用具有时间局域性的窗函数将信号分段，然后对每一段进行FRFT频谱分析。STFRFT可以在时间-FRFT域进行联合分析，然而，由于窗函数的长度是预先固定的，STFRFT并不能在时间域和FRFT域均提供良好的分辨率。换而言之，STFRFT的分辨率受到不确定性原理的约束，即窄窗具有较好的时间分辨率和较差的FRFT谱分辨率；宽窗具有较好的FRFT谱分辨率和较差的时间分辨率。然而实际信号一般高频成分持续时间较短，在分析时要求更高的时间分辨率；而低频成分持续时间较长，在分析时要求更高的频率分辨率。
而小波变换在不同频率分量处具有不同的时频分辨率。
FRWT被定义为FRFT和小波变换（WT）的级联，即：
\begin{align}
W^{\alpha}(a,b)&=\frac{1}{\sqrt{a}}\int\limits_{\mathbb{R}}\int\limits_{\mathbb{R}}{\mathcal K}_\alpha(u,t)f(t)\psi^{\ast}\left(\frac{u-b}{a}\right)dtdu\\
&=\frac{1}{\sqrt{a}}\int\limits_{\mathbb{R}}\left(\int\limits_{\mathbb{R}}f(t){\mathcal K}_\alpha(u,t)dt\right)\psi^{\ast}\left(\frac{u-b}{a}\right)du\\
&=\frac{1}{\sqrt{a}}\int\limits_{\mathbb{R}}F_{\alpha}(u)\psi^{\ast}\left(\frac{u-b}{a}\right)du\\
\end{align}
其中，变换的核函数\mathcal{K}_{\alpha}(u,t) 为：
\mathcal{K}_{\alpha}(u,t)=
\begin{cases}
A_{\alpha}e^{j\frac{u^2+t^2}{2}\cot\alpha-jut\csc\alpha},&\alpha \neq k\pi\\
\delta(t-u),&\alpha = 2k\pi \\
\delta(t+u),&\alpha = (2k-1)\pi \\
\end{cases}
其中A_\alpha=\sqrt{{(1-j\cot\alpha)}/{2\pi}}，F_{\alpha}(u)表示f(t)的FRFT。然而，由于时间信号在变换中丢失，这并不是时间-FRFT联合分布。
此外，Prasad和Mahato将信号和母小波的FRFT来表达信号的WT，并称这种表达为FRWT。即：
\begin{align}
\left(W_{\psi}^{\alpha}f\right)(b,a)&=\frac{1}{\sqrt{a}}\int\limits_{\mathbb{R}}f(t)\psi^{\ast}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt\\
&=\frac{\csc\alpha}{4\pi^2}\int\limits_{\mathbb{R}}F(u\sin\alpha)\Psi^{\ast}(au\sin\alpha)e^{j\frac{u^2}{4}(1-a^2)\sin2\alpha-jbu}du\\
\end{align}
其中F(u\sin\alpha)和\Psi(u\sin\alpha)表示f(t)和\psi(t)的傅里叶变换（参数缩放了\sin\alpha 倍）。显然，这种所谓的FRWT与普通WT是相同的。
最近， Shi等人通过引入与FRFT有关的分数卷积提出了新的关于FRWT的定义。任意平方可积函数f(t)\in L^{2}(\mathbb{R})的FRFT定义为：
W_{f}^{\alpha}(a,b)=\mathcal{W}^{\alpha}f(t)=\int\limits_{\mathbb{R}} f(t)\psi_{\alpha,a,b}^{\ast}(t)\, dt
其中\psi_{\alpha,a,b}(t)是对母小波\psi(t)的Chirp调制和连续仿射变换，即：
\psi_{\alpha,a,b}(t)=\frac{1}{\sqrt{a}}\psi\left(\frac{t-b}{a}\right)e^{-j\frac{t^2-b^2}{2}\cot\alpha}
其中，a\in \mathbb{R^+}是尺度参数；b\in \mathbb{R}是位移参数。对应的逆FRWT变换为：
f(t)=\frac{1}{2\pi C_{\psi}}\int\limits_{\mathbb{R}}\int\limits_{\mathbb{R}^{+}}W_{f}^{\alpha}(a,b)\psi_{\alpha,a,b}(t)\frac{da}{a^2}db
其中C_{\psi}是与选用的小波相关的常数，该常数决定了重建能否进行，即容许性条件（Admissibility condition）：
C_{\psi}=\int\limits_{\mathbb{R}}{\frac}\,d\Omega
其中\Psi(\Omega)表示\psi(t)的傅里叶变换。容许性条件表明\Psi(0)=0，即\int_{\mathbb{R}}\psi(t)dt=0。因此，连续分数小波必须表现出震荡的性质，并在分数傅里叶域中体现出带通滤波器的特性。从这点来看，f(t)的FRWT变换可以用FRFT域来表示，即：
W_{f}^{\alpha}(a,b)=\int\limits_{\mathbb{R}}{\sqrt{2\pi a}F_{\alpha}(u)\Psi^{\ast}(au\csc\alpha)}\mathcal{K}^{\ast}_{\alpha}(u,b)du
其中F_{\alpha}(u)表示对f(t)的FRFT，\Psi(u\csc\alpha) 表示\psi(t)的傅里叶变换（参数缩放了\csc\alpha 倍）。当\alpha={\pi}/{2}时，FRWT退化为传统的小波变换。文献对此类FRWT进行了深入的讨论。
分数小波变换的多分辨分析（MRA）
该文概述了分数小波变换及其多分辨分析。
参考文献
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