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厄爾米特小波

Wikipedia · 2023-09-26 维基百科 👁 1 阅读

埃爾米特小波由埃爾米特多項式組成，第n個埃爾米特小波來自於高斯函數的第n階導數。

物理學上的埃爾米特多項式定義為

:\ \ H_m(x)=(-1)^m e^{x^2}\frac{d^m}{dx^m}e^{-x^2}\,\!

可以用遞迴方式得到:

:H_0(x)=1

:H_1(x)=2x

:H_{m+1}(x)=2xH_m(x)-2mH_{m-1}(x), m=1,2,3....

連續小波轉換的母小波可以表示成
:\psi _{a,b} (x) = {1 \over {\sqrt a }}\psi \left( {{{t - b} \over a}} \right) ，其中a是膨脹參數，b是位移， a,b∈R且 a≠0

若 a=2^{-k} ， b=n2^{-k}，則變成具有離散參數的小波轉換:
:\psi _{k,n} (x) = {2^{k\over 2}}\psi \left( {{2^{k}x-n} } \right)，其中k,n∈R

埃爾米特小波的母小波定義為 \psi_{n,m}(x)=\psi(k,n,m,x)，包含四個參數，其中k是任意正整數，影響母小波的縮放，n=1,2,...2^{k-1}\ 影響母小波的平移位置，m是埃爾米特多項式的階層，其定義在[0,1)，數學式如下:

:\psi_{n,m}(x)=
\begin{cases}
2^{k\over 2} \sqrt{1\over{n!2^{n} \sqrt{\pi}}}H_{m}(2^{k}x-2n+1)\ \ , \frac{n-1}{2^{k-1}}\le x

參考文獻

#小波分析

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