長球波函數

在數學中，長球波函數由一個限時、限頻、與第二個限時的函數相乘而成。假定Q_T表示一個切截時間的運算器，且x=Q_T x，則x必為有限時間區間的函數，當x在[-T/2;T/2]的區間內。同理，假定P_W表示一個理想的低頻濾波器，且x=P_W x，則x必為有限頻寬區間的函數，當x在[-W;W]的區間內。透過組合上述運算子，使得Q_T P_W Q_T轉變成線性、有界且的運算式。對於n=1,2,\ldots，我們假設\psi_n為第n項的本徵函數，定義下列函式

: \ Q_T P_W Q_T \psi_n=\lambda_n\psi_n,

其中\{\lambda_n\}_n為對應的本徵值。此時限函數\{\psi_n\}_n即為長球波函數(PSWFs).在此領域中，幾個非常重要的先驅文章由Slepian and Pollak, Landau and Pollak, and Slepian.所提出。

這些函數有些不同的意涵，當在解亥姆霍兹方程 \Delta \Phi + k^2 \Phi=0，透過在長球面坐標系做變數分離，使得(\xi,\eta,\phi)各代表：

:\ x=(d/2) \xi \eta,

:\ y=(d/2) \sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)} \cos \phi,

:\ z=(d/2) \sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)} \sin \phi,

:\ \xi>=1 and |\eta|.

得到解\Phi(\xi,\eta,\phi)為長球波函數R_{mn}(c,\xi)與角球波函數S_{mn}(c,\eta)的成積乘上e^{i m \phi}. 這裡的變數c可定義為c=kd/2, with d為長球的橢圓截面的兩焦點的距離。

徑向波(The radial wave function)R_{mn}(c,\xi)滿足線性常微分方程:

:\ (\xi^2 -1) \frac{d^2 R_{mn}(c,\xi)}{d \xi ^2} + 2\xi \frac{d R_{mn}(c,\xi)}{d \xi} -\left(\lambda_{mn}(c) -c^2 \xi^2 +\frac{m^2}{\xi^2-1}\right) {R_{mn}(c,\xi)} = 0

此本徵值\lambda_{mn}(c)在Sturm-Liouville 微分方程中已被固定，透過設定{R_{mn}(c,\xi)}為有限函數，當 |\xi| \to 1_+.

角波函數滿足下列微分方程：

:\ (\eta^2 -1) \frac{d^2 S_{mn}(c,\eta)}{d \eta ^2} + 2\eta \frac{d S_{mn}(c,\eta)}{d \eta} -\left(\lambda_{mn}(c) -c^2 \eta^2 +\frac{m^2}{\eta^2-1}\right) {S_{mn}(c,\eta)} = 0

這跟徑向波函數式為同樣的微分方程。然而，這兩式的變數的範圍是不同的(在徑向波函數中\xi>=1)，在角波函數中|\eta|)。

當給定c=0，這兩個微分方程可以簡化成滿足伴隨勒讓德多項式的式子。當給定c\ne 0，角波函數可被展開成勒讓德級數。

注意，如果我們將角波函數寫成S_{mn}(c,\eta)=(1-\eta^2)^{m/2} Y_{mn}(c,\eta)，函數Y_{mn}(c,\eta)將滿足以下線性微分方程：

\ (1-\eta^2) \frac{d^2 Y_{mn}(c,\eta)}{d \eta ^2} -2 (m+1) \eta \frac{d Y_{mn}(c,\eta)}{d \eta} +\left(c^2 \eta^2 +m(m+1)-\lambda_{mn}(c)\right) {Y_{mn}(c,\eta)} = 0,

此函數為球波函數。這個輔助方程式在Stratton 1935年的文章被當作例子。

現存不少不同的球函數標準化的方法，在Abramowitz and Stegun.的文章中有整理的表格。Abramowitz跟Stegun(以及現在的相關文章)都沿用Flammer當初提出來的符號。

一開始，球波函數是由C. Niven,提出，他在球座標上引入Helmholtz方程式。許多專題論文已經探討出球波函數的很多面向，例如Strutt, Stratton et al., Meixner and Schafke, and Flammer. Patz和Van Buren, Baier與其團隊, Zhang和Jin, Thompson,、Falloon. Van Buren和Boisvert最近發展出新的方法去計算出長球波函數，延伸了數值解的能力，能運算極廣的變數範圍。Fortran原始碼結合了新的結果與傳統的方法，可見於http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.。

Flammer, Hanish et al., and Van Buren et al.等人也提出了數值解的整理表格。

NIST提供的DLMF(Digital Library of Mathematical Functions)(http://dlmf.nist.gov)是個了解球波函數的良好資源。

關於值域落在單位球的表面的長球波函數，我們通稱為"Slepian functions" (另見「頻譜集中問題」)。這函數存在非常多的應用，像是大地測量以及宇宙學.

參考文獻
外部連結

• MathWorld [http://mathworld.wolfram.com/SpheroidalWaveFunction.html Spheroidal Wave functions]
• MathWorld [http://mathworld.wolfram.com/ProlateSpheroidalWaveFunction.html Prolate Spheroidal Wave Function]
• MathWorld [http://mathworld.wolfram.com/OblateSpheroidalWaveFunction.html Oblate Spheroidal Wave function]