在數學上，一個對偶小波（）為小波的對偶。一般情形下，在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中，由平方可積函數(square integral function)產生的小波級數(wavelet series)具有對偶級數。然而，
對偶級數一般並不是由平方可積函數本身表示。
定義
給一個平方可積函數 \psi\in L^2(\mathbb{R}), 定義級數 \{\psi_{jk}\} 由
:\psi_{jk}(x) = 2^{j/2}\psi(2^jx-k)
給整數 j,k\in \mathbb{Z}.
這種函數稱為R函數(R-function)，假如\{\psi_{jk}\}的線性展延在L^2(\mathbb{R})上,且假如存在一個正的常數A, B，其中0 如下式
:A \Vert c_{jk} \Vert^2_{l^2} \leq
\bigg\Vert \sum_{jk=-\infty}^\infty c_{jk}\psi_{jk}\bigg\Vert^2_{L^2} \leq
B \Vert c_{jk} \Vert^2_{l^2}\,
對於所有雙無限平方累加(bi-infinite square summable)級數 \{c_{jk}\}. 在這裡, \Vert \cdot \Vert_{l^2} 代表平方和範數:
:\Vert c_{jk} \Vert^2_{l^2} = \sum_{jk=-\infty}^\infty \vert c_{jk}\vert^2
而 \Vert \cdot\Vert_{L^2} 代表在 L^2(\mathbb{R})的通常範數(usual norm):
:\Vert f\Vert^2_{L^2}= \int_{-\infty}^\infty \vert f(x)\vert^2 dx
由里斯表示定理(Riesz representation theorem)，存在一個獨特的對偶基底(dual basis) \psi^{jk} 如下式
:\langle \psi^{jk} \vert \psi_{lm} \rangle = \delta_{jl} \delta_{km}
\delta_{jk}為克羅內克函數(Kronecker delta)，而 \langle f\vert g \rangle為在L^2(\mathbb{R})的內積(inner produce)。確實，這裡存在一個對於平方可積函數 f 表示基底的特殊級數表示:
:f(x) = \sum_{jk} \langle \psi^{jk} \vert f \rangle \psi_{jk}(x)
假如這裡存在一個函數 \tilde{\psi} \in L^2(\mathbb{R}) 如下式
:\tilde{\psi}_{jk} = \psi^{jk}
\tilde{\psi} 稱為對偶小波(dual wavelet)或是小波對偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般來說，對於一些R函數(R-function)ψ,對偶不一定存在。在特別情況 \psi = \tilde{\psi}中,這個小波稱為正交小波(orthogonal wavelet)。
要舉一個沒有對偶的R函數(R-function)很簡單。讓\phi 為一個正交小波。然後定義 \psi(x) = \phi(x) + z\phi(2x)，z 為複數.如此一來可以很簡單的表明 ψ 沒有對偶小波。
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文獻
- Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets (Wavelet Analysis & Its Applications), (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-174584-8
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