常微分方程数值方法
常微分方程数值方法是用以寻找常微分方程（ODE）解的数值近似值的方法。其使用也称作“数值积分”，不過数值积分一般是指用數值方法計算定積分，不是求解常微分方程。 很多微分方程无法精确求解。但在工程学等领域的实际应用中，通常只需得到数值近似解。本文介绍的算法可用于计算这种近似值，另一种方法是用微积分技术得到解的级数展开表达。 常微分方程出现于物理学、化学、生物学、经济学等学科中。此外，偏微分方程数值方法中的一部分将偏微分方程转为常微分方程，…
标签：#数值微分方程
共 42 篇文章
有限差分法
有限差分法（finite-difference methods，FDM），是在数学中的一种微分方程数值方法，是通过有限差分來近似导數，从而寻求微分方程的近似解。 由泰勒展開式的推導 首先假設要近似函數的各級導數都有良好的性質，依照泰勒定理，可以形成以下的泰勒展開式： :f(x_0 + h) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}h + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}h^2 + \cdots + \fr…
拉克斯等價定理
拉克斯等價定理（Lax equivalence theorem）是数值分析中，針對線性有限差分法分析的基本定理，和線性偏微分方程的數值求解有關。拉克斯等價定理指出：對適定線性初值問題的線性一致有限差分方法，此方法收斂若且唯若此方法稳定。 此定理的重要性在：針對偏微分方程的有限差分法，會希望此方法滿足收斂性，但一般來說這很難確認，因為數值方法是由遞迴關係式所定義，而微分方程和可微函数有關，兩個數學工具本質的差異很大，很難證明其收斂性。而一…
刚性方程
在数学領域中，剛性方程（stiffness equation）是指一个微分方程，其數值分析的解只有在時間間隔很小時才會穩定，只要時間間隔略大，其解就會不穩定。目前很難去精确地去定義哪些微分方程是刚性方程，然而粗略而言，若此方程式中包含使其快速變動的項，則其為剛性方程。 在積分微分方程時，若某一區域的的變化很大，會希望在這個區域的積分間隔密一些，若另一區域的曲線近似直線，且斜率接近零，會希望在這個區域的積分間隔鬆一些。不過針對一些問題，就…
休恩方法
休恩法（），又稱改进的或修改過的欧拉方法、顯式的梯形规则，是数学和计算机科学中求解給定初值常微分方程的数值方法，以德國數學家命名。可被视作把欧拉方法扩展为两级二阶龙格－库塔法。 运用休恩法计算初值问题数值的解可分成以下步骤： :y'(t) = f(t,y(t)), \qquad y(t_0)=y_0, 根據休恩法，先计算中间值\tilde{y}_{i+1}，然后計算在下一个積分点的最終近似值y_{i+1}。 :\tilde{y}_{i+…
FTCS格式
数值分析裡的FTCS是「前向時間中心空間」（forward time-centered space）的簡稱，是求解熱傳導方程式和其他抛物偏微分方程的有限差分法，在時間上是顯式的一階方法，若用在熱傳導方程下，會條件穩定。若用在，或是更廣義的抛物偏微分方程，要加入人工的粘度才會穩定。FTCS的縮寫最早是由Patrick Roache使用。 方法說明 FTCS格式是以時間上的前向欧拉方法以及空間上的中心差分為基礎，在時間上有一階收斂性，在空間…
線性多步法
線性多步法是一種初值問題的常微分方程数值方法。在概念上，初值問題的數位方法是由初值開始，在時間上前進一小段，求解下一個點的數值。重覆此步驟，直到要求解的區間都完成為止。 單步法（像欧拉方法）只用前一個點以及其微分來計算目前的值，單步法的龙格-库塔法會用前一個點以及和中間點中間的值來計算目前的值，不過在計算下一個值時，就不考慮之前的資訊。 多步法和單步法的差異是，多步法會考慮以前的資料，以提昇效率。因此。多步法會參考之前的數個點以及數點微…
單步法
数值分析裡的單步法（one-step methods）和多步法（multistep methods）是求解初值問題的數值方法的兩種分類。常微分方程和初值問題在自然科學、工程物理學中都很重要，在經濟學和社会科学中的重要性也慢慢提高。 單步法背後的基本概念是從給定的起點出發，沿著想要的解，一步一步的計算近似解。單步法只使用最近的資訊計算下一個點的資訊，多步法則不同，多步法還會考慮更早的資訊。單步法粗略可以分為兩類：顯式法是直接計算新的近似值…
模版 (數值分析)
的模版]] 在數學的偏微分方程數值方法裡，模版（stencil）是有關幾何安排的資訊，會用在一個點周圍點上的資訊來求得所關注點的資訊。模版是許多求解偏微分方程（PDE）數值方法演算法的基礎。五點模版和克兰克-尼科尔森方法模版就是模版的例子。 模版可分為兩類：和，兩者的差異在只利用關注點鄰近的點，或是會用到更遠處的點。 在一維模版中，會用n-1、n和n+1表示時間的步階，其中n和n-1是數值已知的，而有限體積空間上的分佈會表示為j-1、j…
蛙跳积分法
蛙跳积分法（）是一种对微分方程进行积分的简单方法，尤其是在动力系统的情况下。这个方法在不同学科中有不同的名字。特别是它与速度Verlet方法等同，后者是Verlet积分法中的一个变体。 蛙跳积分法相当于在交错的时间点计算位置和速度，在时间上相互交错，所以他们相互跃过对方。例如，位置为整数的时间步长而速度为整数加一半的时间步长。 蛙跳积分法是一个二阶的方法因此通常要好于一阶的欧拉方法。不同于欧拉方法，它对振荡运动稳定，只要满足 \Delt…
欧拉-丸山法
欧拉-丸山法（）是用数值求解随机微分方程（SDE）的方法，是欧拉法求解常微分方程（ODE）在随机微分方程上的推广。此方法以欧拉和日本数学家丸山仪四郎命名。 考虑如下随机微分方程（见伊藤积分） :\mathrm{d} X_t = a(X_t) \, \mathrm{d} t + b(X_t) \, \mathrm{d} W_t, 以及给定的初始条件X_0 = x_0，其中W_t代表维纳过程，假定我们要求解在时间区间[0,T]上的此方程，则…
克兰克-尼科尔森方法
克兰克－尼科尔森方法（）是一種数值分析的有限差分法，可用于数值求解热方程以及类似形式的偏微分方程。它在时间方向上是隐式的二阶方法，可以寫成隐式的龍格－庫塔法，数值稳定。该方法诞生于20世纪，由約翰·克蘭克与菲利斯·尼科爾森发展。 可以证明克兰克－尼科尔森方法对于扩散方程（以及许多其他方程）是无条件稳定。但是，如果时间步长Δ乘以熱擴散率，再除以空间步长平方Δ的值过大（根據馮諾依曼穩定性分析，以大于1/2為準），近似解中将存在虚假的振荡或衰…
龙格-库塔法
数值分析中，龙格-库塔法（英文：Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和馬丁·威廉·庫塔于1900年左右发明。 四阶龙格-库塔法 在各種龙格－库塔法當中有一個方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初始值时，利用计算机的仿真应用，省去求解微分方程的复杂过程。 令初值问题表述如下。 : y' = f(t…
正交配置法
正交配置法()是加权余项法(Method of Weighted Residuals)的一种，可用于解线性以及非线性常微分方程组、偏微分方程组的初值和边值问题。该方法特别适合求解非线性问题，与传统差分法相比，具有计算精度高和稳定性好等优点。 所谓加权余项法，是将微分方程的未知解展开成一组具有可调常数的试验函数，选择合适的常数值，使得试验函数充分接近于微分方程的精确解。若选用正交多项式为试验函数，并取正交多项式的根作为配置点时，则称为正交…
广义有限元方法
广义有限元方法（，GFEM），是基于传统有限元方法（FEM）的一种数值分析方法，能够更加优雅、准确地解决材料交界面和断裂力学等非连续问题。这类问题在划分单元网格时，应用传统有限元方法往往需要使网格边界与非连续界面尽可能重合，带来极大的网格依赖（mesh-dependence）。对于复杂边界问题及形状变化问题（例如和裂纹扩展等），传统有限元需要花费大量的时间建立单元网格以及重建网格，同时还需要引入计算量处理裂尖端（crack tips）来…
光滑粒子流体动力学
光滑粒子流体动力学（）是一种用于模拟连续介质动力学的计算方法，如固体力学和流体流动。 它由Gingold和Monaghan（1977）和Lucy（1977）提出，最初用于天体物理问题。 此方法已被用于许多研究领域，包括天体物理学，弹道学，火山学和海洋学。 它是一种无网格的拉格朗日方法（即坐标系与流体一起移动），并且方法的分辨率可以容易地相对于诸如密度的变量进行调整。 方法 光滑粒子流体动力学方法将连续流体分成一组称为粒子的离散元素。 这…
九點模版
数值分析中，假設有在二維空間下的方形網格，一個點的九點模版（）是指包括其周圍八個點和其自身的模版。九點模版可以用差分來近似中央點的導數，是數值微分的範例之一。九點模版常用在近似二個變數的拉普拉斯算子。 動機 若用有限差分法，將二維的拉普拉斯算子離散化，可以得到常見的五點模版，表示為以下的卷积核： D_{CD}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix…
Kansa方法
20世纪90年代，E. J. Kansa将用于散乱数据处理和函数近似的径向基函数用于处理偏微分方程，并提出一种强格式的配点方法。Kansa所提出的径向基函数配点方法是真正的无网格方法，具有易于编程、数学形式简单、方便掌握等优点。该方法提出后不久，被学术界称之为Kansa方法(Kansa method)。 由于径向基函数是采用无需考虑维数的一维欧几里德距离作为变量，Kansa方法适用于高维的和形状复杂的问题。Kansa方法是一种区域型方法…
偏微分方程數值方法
偏微分方程数值方法是数值分析的一个分支，研究如何得到偏微分方程(PDE) 的数值解。 一般来说，对于双曲型方程、 抛物型方程或椭圆方程都有专门的数值方法。 方法概述 有限差分法 在这种方法中，函数由它们在某些网格点处的值表示，并通过这些值的差分来近似导数。 有限元法 有限元法 (FEM)是一种数值技术，用于寻找微分方程边值问题的近似解。它使用变分法，以最小化误差函数和得到稳定的解。类似于连接许多短线可以逼近一个更大的圆的想法，FEM 是…
五點模版
数值分析中，假定是一維或二維的正方形格點，五點模版的點是由其四個鄰點所組成的模版。會用五點模版來將格點上的导数用有限差分來近似。這是數值微分的應用。 一維 一維下，假設各點之間的距離是h，則五點模板的五個點會是 : \{x-2h, x-h, x, x+h, x+2h\}. 一維一階導數 實變數函数 f在點x的一階導數可以用五點模版近似如下： :f'(x) \approx \frac{-f(x+2 h)+8 f(x+h)-8 f(x-h)…