常微分方程数值方法
常微分方程数值方法是用以寻找常微分方程（ODE）解的数值近似值的方法。其使用也称作“数值积分”，不過数值积分一般是指用數值方法計算定積分，不是求解常微分方程。 很多微分方程无法精确求解。但在工程学等领域的实际应用中，通常只需得到数值近似解。本文介绍的算法可用于计算这种近似值，另一种方法是用微积分技术得到解的级数展开表达。 常微分方程出现于物理学、化学、生物学、经济学等学科中。此外，偏微分方程数值方法中的一部分将偏微分方程转为常微分方程，…
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共 32 篇文章
广义超几何函数
广义超几何函数（generalized hypergeometric function），有时也称超几何函数，是一个用幂级数定义的函数，其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。下文中用“超几何函数”一词代指广义超几何函数，而用“高斯超几何函数”一词代指 、 时的广义超几何函数。 定义与记号 超几何函数是用幂级数定义的： :\beta_0 + \beta_1 \frac z{1!} + \beta_2 \frac{z^2}{2!} +…
洛特卡-沃爾泰拉方程
洛特卡－沃爾泰拉方程（）別稱掠食者—獵物方程。是一个二元一階非線性微分方程組成。經常用來描述生物系統中，掠食者與獵物進行互動時的动态模型，也就是兩者族群規模的消長。此方程分別在1925年與1926年，由阿弗雷德·洛特卡與維多·沃爾泰拉獨立發表。 :\frac{dx}{dt} = x(\alpha - \beta y) :\frac{dy}{dt} = - y(\gamma - \delta x) *y 是掠食者（如狼）的數量； *x 是…
動態模擬
動態模擬（）是用電腦程式來模擬系統在不同時間下的特性。系統一般會用常微分方程或偏微分方程來描述。 當数学模型加入了真實世界中的一些限制（例如背隙或是急停後的反彈），系統會有非線性特性，因此會需要利用數值方法來求解問題。计算机模拟會在一定的時間內，計算其導數曲線下的面積，以此方式來計算積分量的近似值。有些方式在每一次增加的時間量是固定值，有些方式則會自動調整增加的時間量，一方面使誤差維持在可允許範圍內，也可以節省運算時間。有些方式則是在模…
米-门二氏动力学
米-门二氏动力学（），又称米氏动力学，以德国生物化学家和加拿大医师莫德·门滕的名字命名，是酶動力學中一个极为重要的方程，可以描述多种非变异构酶动力学现象，其表示式为： V_{0} = V_{max}\frac{[S]}{K_M + [S]} 方程与推导 以下米氏方程的推导是由和约翰·伯顿·桑德森·霍尔丹在1925年提出的： 假设有下图所示的酶促反应 E + S \begin{matrix} k_1 \\ \longrightarrow …
阻尼比
阻尼比（）是工程上的無因次量，描述系統在受到擾動後振盪及衰減的情形。許多系統在受擾動，離開其靜平衡位置時都會振盪，例如吊在彈簧的重物，若用力往上拉再放開，就會上上下下的擺動。在擺動過程中，系統試圖回到平衡位置，不過會出現過沖。有時系統會有損耗（例如摩擦力）會形成系統的阻尼，會使系統的振盪漸漸變小，最後衰减。阻尼比是描述系統的振盪多快可以衰減。 系統的振盪行為出現在許多不同的領域中，例如控制工程、機械工程、結構工程及電機工程等。振盪的物理…
柯西-利普希茨定理
在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和。 局部定理 设为一个完备的有限维賦範向量空間（即一个巴拿…
積分曲線
数学裡的積分曲線（integral curve）是表示常微分方程或方程組之解的參數方程。 名稱 積分曲線有許多不同的名稱，依微分方程或向量方程的本質不同而異。物理学中，電場或磁場的積分曲線常稱為場線（field line），流體之流速的積分曲線會稱為流線（streamline）。动力系统理论中，其統御方程的積分曲線會稱為軌跡。 定義 假設是靜態向量場，也就是在笛卡儿坐标系下的向量值函数，分量是，且是笛卡儿坐标系下的參數方程，則是的積分曲…
特徵方程式
特徵方程式（characteristic equation）或輔助方程式（auxiliary equation）或遞迴關係式的代數方程式。只有線性齊次常系數的微分方程或差分方程才有特徵方程式。考慮一微分方程，其因变量為 y，a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0為常数 :a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}y' + a_{0}y = 0, 其特徵方程式如下…
節點 (自治系統)
自治系统中的節點（node）是指系統中，滿足以下特性的临界点（導數為零的點）： 每一個路徑隨著 t \rightarrow \infty （或 t \rightarrow - \infty ），或者趨近此临界点，不然就遠離此临界点。而且，每一個趨近此临界点的路徑都會漸近趨近到一條線。 若隨著時間增加，鄰近的點都會趨近此临界点，節點即為穩定節點。若鄰近的點都會遠離此临界点，即為不穩定節點。 相關條目 *鞍點：另一種特性的临界点，特定方向鄰…
马格努斯展开
在数学和物理学中，马格努斯展开（）为线性算子的一阶齐次线性微分方程的解提供了指数表示，得名於數學家威廉·馬格努斯。特别地，这种方法提供了变系数n阶线性常微分方程组的基矩阵。指数是无穷级数，其项涉及多重积分和嵌套换元。 确定情形 马格努斯方法及其解释 给定系数矩阵，我们希望求解与线性常微分方程相关的初值问题 : Y'(t) = A(t) Y(t), \quad Y(t_0) = Y_0 其中是未知n维向量函数。 n = 1时，解为 : Y…
黎曼–希尔伯特问题
数学中，得名于伯恩哈德·黎曼和大卫·希尔伯特的黎曼–希尔伯特问题是在复平面研究微分方程时出现的一类问题。马克·克林、Israel Gohberg等人提出了这种问题的存在性定理（见Clancey & Gohberg (1981)）。 黎曼问题 设\Sigma为复平面中的简单闭合轮廓，将复平面分为\Sigma_{+}（内侧）与\Sigma_{-}（外侧）两部分，分别用轮廓相对于点的卷绕数决定。黎曼的博士论文（参）考虑的经典问题是寻找函数 :…
常微分方程
在数学分析中，常微分方程（，簡稱）是未知函数只含有一个自变量的微分方程，与之相对的是偏微分方程（partial differential equation, 简称PDE）——后者可能涉及多个自变量。 很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移s和时间t的关系就可以表示为如下常微分方程： :m\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}=f(s) 其中m是物体的质量，f(…
歐拉-拉格朗日方程
歐拉-拉格朗日方程（）為變分法中的一條重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的臨界值（平穩值）函數，換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法，與微積分差異的地方在於，泛函的定義域為函數空間而不是 \mathbb{R}^n。 该方程由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉与意大利数学家约瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。 第一方程 設f=f(x,\ y,\ z)，以及f_y,\ f_z在[a,\ b]\times\mathbb{R}…
刘维尔公式
刘维尔公式（Liouville's Formula）是一个关于多重积分和欧拉积分（\Gamma函数）的公式，其形式如下： :\int ...\iint_{x_{1},x_{2},...,x_{n}\geqslant0;x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\leqslant1}f\left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\right)x_{1}^{p_{1}-1}x_{2}^{p_{2}-1}...x_{n}^{p_{n…
阻尼
振动示意图。从振动形式看，这是一个欠阻尼体系。]] 阻尼（）是指任何振动系统在振动中，由于外界作用（如流體阻力、摩擦力等）和/或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。 在實際振動中，由於摩擦力總是存在的，所以振動系統最初所獲得的能量，在振動過程中因阻力不斷對系統做負功，使得系統的能量不斷減少，振動的強度逐漸減弱，振幅也就越來越小，以至於最後的停止振動，像這樣的因系統的力學能，由於摩擦及轉化成內能逐漸減少…
简正模
简正模（）是一个振荡系统中所有部分都以相同的频率以正弦函数形式运动的模式。由简正模描述的自由运动发生在固定的频率上。一个系统的简正模对应的振动频率被称为其固有频率或共振频率。任何物体，如建筑物、桥梁或分子，都具有一组简正模及对应的固有频率，取决于其结构，材料和边界条件。 一个系统一般的运动可以写成其简正模的叠加。之所以简正模被称作“简正的（normal）”，是因为它们可以独立运动，即给物体施加一种模的激发，永远不会导致物体以另一个模运动…
马丢函数
马丟函数（）是1868年法國數學家因研究数学物理所推得的特殊函數，下列马丟方程的解析解： : \frac{d^2y}{dx^2}+[a-2q\cos (2x) ]y=0. 马丟方程有两个线性无关的解： ;奇数解 MathieuCE(n, q, x)，或记为w_{I}(n,q,x), ;偶数解 MathieuSE(n, q, x).或记为w_{II}(n,q,x) 称为基本解 周期性 马丟函数 MathieuC(a,q,z) 或 Math…
齊次微分方程
微分方程可在两种意义上称为齐次的。 若一阶微分方程可写为： f(x,y) \, dy = g(x,y) \, dx, 其中和为关于和的同次齐次函数，则称该方程为齐次微分方程。在这种情况下通過变量变换可得到如下形式的的方程： \frac{dx}{x} = h(u) \, du, 该方程可通过两边积分直接求解。 此外，若微分方程是未知函数及其导数的齐次函数，则也可称为齐次方程。 參考文獻
切比雪夫方程
切比雪夫方程（）是指二阶线性常微分方程 :(1-x^2) {d^2 y \over d x^2} - x {d y \over d x} + p^2 y = 0 其中p为一实常数。该方程是以俄罗斯数学家巴夫尼提·切比雪夫的名字命名的。 方程的解为幂级数 :y = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n 其中系数可通过以下递推关系式计算： : a_{n+2} = {(n-p) (n+p) \over (n+1) (n+2) } …