歐拉-拉格朗日方程（）為變分法中的一條重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的臨界值（平穩值）函數，換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法，與微積分差異的地方在於，泛函的定義域為函數空間而不是 \mathbb{R}^n。
该方程由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉与意大利数学家约瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。
第一方程
設f=f(x,\ y,\ z)，以及f_y,\ f_z在[a,\ b]\times\mathbb{R}^2中連續，並設泛函
:J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx。
若y\in C^1[a,\ b]使得泛函J(y)取得局部平穩值，則對於所有的x\in(a,\ b)，
:\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}f(x, y, y')=\frac{\partial}{\partial y}f(x, y, y')。
推廣到多維的情況，記
:\vec{y}(x)=(y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x))，
:\vec{y}'(x)=(y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))，
: f(x, \vec{y}, \vec{y}')=f(x, y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x), y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))。
若\vec{y}'(x)\in(C^1[a, b])^n使得泛函 J(\vec{y})=\int_a^bf(x, \vec{y}, \vec{y}')dx取得局部平穩值，則在區間(a,\ b)內對於所有的 i=1,\ 2,\ \ldots,\ n，皆有
: \frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')=\frac{\partial}{\partial y_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')。
第二方程
設f=f(x,\ y,\ z)，及f_y,\ f_z在[a,\ b]\times\mathbb{R}^2中連續，若y\in C^1[a,\ b]使得泛函J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx取得局部平穩值，則存在一常數C，使得
:f(x, y, y')-y'(x)f_{y\,'}(x, y, y')=\int_a^x f_x(t, y(t), y'(t))dt+C。
第二方程可直接通过f的全微分展开，将关于y的一阶偏导用第一方程替换即可得到\frac{d}{dx}\left(f-\left(\frac{\partial f}{\partial y'}y'\right)\right)=\frac{\partial f}{\partial x}两边求积分即可得到第二方程。
例子
例一：两点之间最短曲线
設(0,\ 0)及(a,\ b)為直角坐標上的兩個固定點，欲求連接兩點之間的最短曲線。設(x(t),\ y(t)) (t\in[0,\ 1])，並且
:(x(0),\ y(0))=(0,\ 0),\ (x(1),\ y(1))=(a,\ b)；
這裏，(x(t),\ y(t))\in C^1[0,\ 1]為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為
:L(y)=\int_0^1\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt。
現設
:\vec{y}(t)=(x(t),\ y(t))，
:f(t,\ \vec{y}(t),\ \vec{y}'(t))=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}，
取偏微分，則
:f_{x'}=\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}，
:f_{y'}=\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}，
:f_x=f_y=0。
若y使得L(y)取得局部平穩值，則y符合第一方程：
:\frac{d}{dt}f_{x'}(t, y, y')=f_x(t, y, y')=0，
:\frac{d}{dt}f_{y'}(t, y, y')=f_y(t, y, y')=0。
因此，
:\frac{d}{dt}\frac{x'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0，
:\frac{d}{dt}\frac{y'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0。
隨t積分，
:\frac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C_0，
:\frac{y'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C_1；
這裏，C_0,\ C_1為常數。重新編排，
:x'=\sqrt{\frac{C_0^2}{1-C_0^2}}=r，
:y'=\sqrt{\frac{C_1^2}{1-C_1^2}}=s。
再積分，
:x(t)=rt+r'，
:y(t)=st+s'。
代入初始條件
:(x(0),\ y(0))=(0,\ 0)，
:(x(1),\ y(1))=(a,\ b)；
即可解得(x(t),\ y(t))=(at,\ bt)，是連接兩點的一條線段。
另經過其他的分析，可知此解為唯一解，並且該解使得L(y)取得極小值，所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。
例二：两点之间最短曲线的另一种求解
另一个例子同样是求定义在区间[a, b]上的实值函数y满足y(a) = c与y(b) = d，并且沿着y所定义的曲线的道路长度最短。
:
s = \int_{a}^{b} \sqrt{1+y'^2} \mathrm{d}x,
被积函数为
:
L(x,y,y')=\sqrt{1+y'^2}
L的偏导数为
:
\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y'} = \frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}}
以及
:
\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y} = 0.
把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程，可以得到
:
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{y'(x)}{\sqrt{1 + (y'(x))^2}} &= 0 \\
\frac{y'(x)}{\sqrt{1 + (y'(x))^2}} &= C = \text{constant} \\
\Rightarrow y'(x)&= \frac{C}{\sqrt{1-C^2}} := A \\
\Rightarrow y(x) &= Ax + B
\end{align}
也就是说，该函数的一阶导数必须为常值，因此其图像为直线。
參閱
*拉格朗日方程式
*變分法
*作用量
*哈密頓原理
參考書籍
*Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.
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