传输理论
传输理论（、），又称为运输理论，是数学、经济学等学科中研究最优运输和资源配置的理论。该问题最早由法国数学家加斯帕尔·蒙日于1781年提出。 1920年代，A·N·托尔斯泰是最早运用数学方法研究传输问题的学者之一。1930年，他在苏联国家交通部编纂的《运输规划》第一卷中发表了题为《寻找太空货物运输的最小千公里方法》的论文。 第二次世界大战期间，苏联数学家、经济学家列昂尼德·坎托罗维奇在该领域取得了重要进展。因此，这一问题有时也被称为蒙日-…
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等周定理
等周定理，又稱等周不等式（），是一个几何中的不等式定理，说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理說明在周界长度相等的封闭几何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的几何形狀之中，以圓形的周界长度最小。這兩種說法是等價的。它可以以不等式表達：若P為封闭曲線的周界长，A為曲線所包圍的區域面積，4 \pi A \le P^2。 虽然等周定理的结论早已为人所知，但要严格的证…
莫尔斯–帕莱引理
数学中，莫尔斯–帕莱引理（Morse–Palais lemma）是变分法与希尔伯特空间理论中的一个结果。粗略地讲，它指出临界点附近足够光滑的函数在适当改变坐标后可表为二次型。 莫尔斯–帕莱引理最初是美国数学家马斯顿·莫尔斯利用格拉姆-施密特正交化在有限维情形证明的。这一结论在莫尔斯理论中起着至关重要的作用。到希尔伯特空间的推广归功于理查德·帕莱和斯蒂芬·斯梅尔。 陈述 令(H, \langle \cdot ,\cdot \rangle)…
守恆量
在經典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為守恆量（），又稱為運動常數。由於很多物理定律會表達某種守恆行為，對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如，假設在某系統內涉及的作用力是保守力，則此系統的能量是守恆量。假設涉及的作用力是連心力，則此系統的角動量是守恆量。 動量 根據動量守恆定律，假若一個粒子所感受到的外力，其總向量和為零，則這粒子的動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻速運動或著靜止不變。…
希尔伯特第二十问题
希尔伯特第二十问题，是数学家大卫·希尔伯特在1900年国际数学家大会上提出的23个问题中的第20题。 问题是问，是否所有的边值问题都有解（即，是否有确定边界条件的变分问题都有解）。对于这一问题的研究在20世纪取得了迅速地进展，也推动了椭圆型微分方程理论的发展。 参考
诺特定理
诺特定理是理论物理的中心结果之一，它表达了每个连续对称性都有着相应的守恒定律。例如，物理定律不随着时间而改变，这表示它们有关于时间的某种对称性。舉例來說，若現實中重力的强度每天都有所改变，就會违反能量守恒定律，因为觀察者可以在重力弱的那天把重物举起，然后在重力强的时候放下来，这样就得到了比一开始输入的更多的能量。 诺特定理对于所有基于作用量原理的物理定律是成立的。它得名于20世纪初的数学家埃米·诺特。诺特定理和量子力学深刻相关，因为它仅…
变分法
变分法是数学分析中的一个分支，它通过研究函数与泛函的微小变分，来求解泛函的极大值与极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。 变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大…
歐拉-拉格朗日方程
歐拉-拉格朗日方程（）為變分法中的一條重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的臨界值（平穩值）函數，換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法，與微積分差異的地方在於，泛函的定義域為函數空間而不是 \mathbb{R}^n。 该方程由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉与意大利数学家约瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。 第一方程 設f=f(x,\ y,\ z)，以及f_y,\ f_z在[a,\ b]\times\mathbb{R}…
費馬原理
費馬原理（）最早由法国科学家皮埃爾·德·費馬在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值或函数的拐点。 。 費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」：光沿着所需时间为平稳的路径传播。平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。 費馬原理是几何光学的基本定理。用微分或变分法可以从費馬原理导出以下三个几何光学定律： #光线在真空中的直线传播。 #光的反射定律 - 光线在…
庞特里亚金最大化原理
庞特里亚金最大化原理（Pontryagin's maximum principle）也根据使用条件稱為庞特里亚金最小化原理或最大值原理及最小值原理，是最优控制中的理論，是在狀態或是輸入控制項有约束條件的情形下，可以找到將动力系统由一個狀態到另一個狀態的最優控制信號。此理論是蘇俄數學家列夫·庞特里亚金及他的學生在1956年提出的。這是变分法中歐拉-拉格朗日方程的特例。 簡單來說，此定理是指在所有可能的控制中，需讓「控制哈密頓量」（cont…
几何分析
幾何分析（）是數學分析的分支，把非线性偏微分方程的方法解決幾何和理論物理學問題的數學領域。 歷史 華人數學家丘成桐在1978年的國際數學家大會的大會報告中系統描繪了幾何分析與高維單值化理論的發展，丘成桐在微分幾何中系統地發展了偏微分方程的方法，解決了卡拉比猜想的证明，為幾何與分析的融合，現在被稱為幾何分析的數學分支作出了貢獻。 理查德·哈密頓教授在黎曼几何之中引入了里奇流 (Ricci flow)。这一套偏微分方程通过空间自身的弯曲决定…
横截性
数学中，横截性是描述空间如何相交的概念，可以看做切的反面，在一般位置中发挥作用。横截性形式化了微分拓扑中一般交的概念，是通过考虑交空间在交点的线性化定义的。 定义 给定有限维光滑流形的两子流形，若在交集的每一点，其各自的切空间共同生成该点处环绕空间的切空间，则称这两个子流形横截相交。不交的流形是虚横截的。若流形维度互补（即维度之和等于环绕空间维度），则条件意味着环绕流形的切空间是两较小切空间的直和。横截交是余维数等于两流形余维数之和的子…
包络定理
包络定理(Envelop Theorem)是带参数的最优化问题中的一个定理。这个定理的内容是，参数的值变动时，目标函数的变动只和参数的变动有关，而与自变量（因参数变动而引起）的变动无关。包络定理在最优化领域非常有用。 具体表述 无约束的情形 设f(\mathbf{x}, \boldsymbol{\alpha})是\mathbb{R}^{n+l}上的可微实函数，其中\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}是自变量，\bo…
希爾伯特第十九問題
希爾伯特第十九問題，是希爾伯特的23個問題之一，有關於變分法的問題，尤其是有關於位勢方程正則性的問題 位勢方程：\frac{\partial ^2U}{\partial X ^2}+\frac{\partial ^2U}{\partial Y ^2}=0 希爾伯特注意到了這個偏微分方程具有某種正則性(regularity)，除此之外，還有一些偏微分方程也有這類的特性，他稱這些具有此特性的方程式為拉格朗日方程，他認為這些方程式的解是可解析…
诺特第二定理
在数学和理论物理学中，诺特第二定理把作用量泛函的对称性与微分方程系统联系起来。 物理系统的作用量S是所谓的拉格朗日函数L的积分，从作用量出发，可以通过最小作用量原理确定系统的行为。 具体地，该定理是说，如果一个作用量有由 k 个任意函数与它最高到m阶的导数线性参数化的无穷小对称性的无限维李代数，则L的泛函导数满足一个包含k个方程的微分方程系统。 诺特第二定理可以用在规范理论中。规范理论是所有现代物理学场论的基本要素，例如通行的标准模型。…
拉格朗日力学的逆问题
在数学中，拉格朗日力学的逆问题是这样一个问题：给定的常微分方程组是否是一个拉格朗日函数的欧拉-拉格朗日方程。 自 20 世纪初以来，已开展了大量的活动来研究这一问题。1941年美国数学家杰西·道格拉斯发表了一篇论文，他在文中给出了拉格朗日力学逆问题有解的充要条件，这是这一领域的一个显著进步。这些条件现在被冠名于赫尔曼·冯·亥姆霍兹，称为亥姆霍兹条件。 问题的背景和表述 n 维欧几里得空间 \mathbb R^n 上的拉格朗日力学的通常表…
協態方程
協態方程（costate equation）和最优控制中用到的狀態方程有關，也稱為輔助方程、伴隨方程、影響方程或是乘數方程。協態方程是向量一階常微分方程 : \dot{\lambda}^{\mathsf{T}}(t)=-\frac{\partial H}{\partial x} 其中等式的右邊為哈密頓量（H）對狀態變數偏导数的負值。 解釋 協態變數\lambda(t)可以解釋為狀態方程相關的拉格朗日乘数。狀態方程表示最小化問題中的限制條…
狄利克雷原理
在数学中的位势论里，狄利克雷原理是关于在 \mathbb{R}^n 中的某个区域 \Omega 上的泊松方程 :\Delta u + f = 0\, 满足边界条件 :在 \partial\Omega 上 u=g \, 的解 u(x) 的刻画。原理说明，u(x) 是使得狄利克雷势能 :E[v] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla v|^2 - vf\right)\,\mathrm{d}x 最小的几…
变分原理
变分原理是物理学的一条基本原理，以变分法来表达。 根据科内利乌斯·兰佐斯的说法，任何可以用变分原理来表达的物理定律描述一种自伴的表示。这种表示也被说成是埃尔米特的，描述了在埃尔米特变换下的不变量。 菲利克斯·克莱因的爱尔兰根纲领试图鉴识这类在一组变换下的不变量。在物理学的诺特定理中，一组变换的庞加莱群（现在广义相对论中被称为规范群）定义了在一组依赖于变分原理的变换下的对称性，即作用原理。 实例 几何光学中的费马原理 力学中的最小作用量原…
变分
变分是在應用數學與變分法中泛函应对与函数中的微分使用的概念。具体可以分为泛函的变分、函数的变分等。 函数的变分 设极值曲线为\hat{y}=\hat{y}(x)，可取曲线为y=y(x)。定义\delta{y}=\hat{y}-y为y的一次变分，即函数y的增量。从而可得\delta{y'}=\hat{y}'-y' 对隐函数\varphi(x,y)=0，其一次变分即为全微分：{\delta}{\varphi} =\delta y \frac…