数学中，莫尔斯–帕莱引理（Morse–Palais lemma）是变分法与希尔伯特空间理论中的一个结果。粗略地讲，它指出临界点附近足够光滑的函数在适当改变坐标后可表为二次型。
莫尔斯–帕莱引理最初是美国数学家马斯顿·莫尔斯利用格拉姆-施密特正交化在有限维情形证明的。这一结论在莫尔斯理论中起着至关重要的作用。到希尔伯特空间的推广归功于理查德·帕莱和斯蒂芬·斯梅尔。
陈述
令(H, \langle \cdot ,\cdot \rangle)为实希尔伯特空间，并令U是H中原点的开邻域。令f : U \to \R是(k+2)-次连续可微函数，其中k \geq 1，即f \in C^{k+2}(U; \R)。设f(0) = 0，0是f的非退化临界点，即二阶导D^2 f(0)确定了H与其连续对偶空间H^*的同构
H \ni x \mapsto \mathrm{D}^2 f(0) (x, -) \in H^*.
则在U中存在0的子邻域V、微分同胚映射\varphi : V \to V（C^k，逆也是C^k）、可逆对称算子A : H \to H使得
f(x) = \langle A \varphi(x), \varphi(x) \rangle \quad \forall x \in V.
推论
令f : U \to \R是f \in C^{k+2}，使得0是非退化临界点。则存在逆为C^k的C^k微分同胚映射\psi : V \to V、正交分解
H = G \oplus G^{\perp},
使得若有
\psi (x) = y + z \quad \mbox{ with } y \in G, z \in G^{\perp},
则
f (\psi(x)) = \langle y, y \rangle - \langle z, z \rangle \quad \text{ for all } x \in V.
另见
- 弗雷歇导数
参考文献
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