猴鞍面

数学中，猴鞍面（monkey saddle）是方程
: z = x^3 - 3xy^2
定义的曲面。用圆柱坐标系也可写作
:z = \rho^3 \cos(3\varphi).

猴鞍面属于鞍面，名称来源于这样的观察：给猴子准备的鞍需要两个凹陷来放腿，一个凹陷来放尾巴。猴鞍面的原点对应z(x,\ y)在原点的退化临界点。猴鞍面有一个孤立的脐点，原点处的高斯曲率为零，而在所有其他点的曲率都是严格负的。
可通过复数将直角坐标与圆柱坐标联系起来：

: z = x^3 - 3xy^2 = \operatorname{Re} [(x+iy)^3] = \operatorname{Re}[r^3 e^{3i\varphi}] = r^3\cos(3\varphi).

将圆柱方程中的3替换为任意整数k \geq 1，就可以得到具有k凹陷的鞍面。

猴鞍面的另一个方向是由x+y+z+xyz=0定义的Smelt花瓣，因此猴鞍面的z轴对应Smelt花瓣中的(1,1,1)方向。

马鞍面
马鞍面（horse saddle）指z(x,\ y)在x-y平面的每个方向上都有一个鞍点、局部最小值或最大值的普通鞍面。相比之下，猴鞍面在每个方向上都有静止的拐点。

参考文献
外部链接
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