雅可比矩阵
在向量分析中，雅可比矩阵（也称作Jacobi矩陣，）是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。 當其為方形矩阵時，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩陣跟雅可比行列式都可稱作Jacobian。 其重要性在於，如果函數 f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m 在點 x 可微的話，在點 x 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅…
标签：#多变量微积分
共 29 篇文章
偏导数
在数学中，偏导数（）的定義是：一個多變量的函数（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他变量恒定。 偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。 函数f关于变量x的偏导数写为f_x^{\prime}或\frac{\partial f}{\partial x}。偏导数符号\partial是全导数符号 d的变体，由阿德里安-马里·勒让德引入，并在雅可比的重新引入后得到普遍接受。 简介 假设 f 是一个…
脊检测
脊检测（）為試圖尋找相片中的脊的位置之方法。在數學及電腦視覺等領域中，一個雙變數光滑函數的脊（或是稱作為脊集合）是所有至少在一個維度中是局部最大值的點所形成的曲線的集合，就如同地理上山脊的概念。而一個N變數函數的脊，是所有在N-1個維度中是局部最大值的點所形成的曲線的集合。脊可以看作是局部最大值的延伸。相對的，一個函數的谷可以以類似的方式定義，只要以局部最小值取代脊定義中的局部最大值的部份。 脊集合與谷集合表現了一個函數直覺上的幾何資訊…
反函数定理
数学分析中，反函数定理（）给出了向量值函数在含有定义域中一点的开区域内具有反函数的一個充分条件。對滿足該條件的函數，该定理斷言其反函数的全导数存在，并给出了一个公式。反函数定理可以推广到定义在流形上、以及定义在无穷维巴拿赫空间（和巴拿赫流形）上的映射。大致地说，C1函数F在点p可逆，如果它的雅可比矩阵 J_F(p) 可逆。 定理的表述 對單變量函數 f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ，反函數定理說…
方向导数
方向導數是分析学特别是多元微积分中的概念。一个标量场在某点沿着某个向量方向上的方向导数，描绘了该点附近标量场沿着该向量方向变动时的瞬时变化率。方向導數是偏导数的概念的推广，也是加托导数的一个特例。 定义 f:U\mapsto \mathbb{R}， 是从 \mathbb{R}^n上某个开集 U 映射到实数 \mathbb{R} 的函数。給定 U 内某点 \mathbf{x}=(x_1, \ldots, x_n)，以及任意非零向量 \ma…
物質導數
在連續介質力學中，物質導數（）描述一些物理量（如熱量或動量）的變動率，而該物質元受制於由時間和空間決定的宏觀向量場。物質導數可作為連續介質力學對形變的歐拉和拉格朗日描述之間的連結。 例如在流體動力學中，向量場為流速，而感興趣的量可能為流體溫度。在這種情況下，物質導數描述的就是某一流體塊沿其（軌跡）流動時隨時間的溫度變化。 其他名稱 物質導數有很多其他名稱，包括： 隨流導數（advective derivative） 對流導數（conve…
黑塞矩陣
海森矩陣（德語：Hesse-Matrix，英語：或），又譯作黑塞矩阵、海塞（赛）矩陣或海瑟矩陣等，是一個由多變量實值函數的所有二階偏導數組成的方陣，由德國數學家奧托·黑塞引入並以其命名。 定義 假設有一實值函數f(x_1, x_2, \dots, x_n)\,，如果 f\,的所有二階偏導數都存在並在定義域內連續，那麼函數f\,的黑塞矩陣為 :\mathbf{H} = \begin{bmatrix}\frac {\partial^2 f}…
拉普拉斯算子
在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（）是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子，通常寫成 \Delta 、 \nabla^2 或 \nabla \cdot \nabla 。 這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經…
隐函数
在數學中，隱式方程（）是形同f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0的關係，其中f是多元函數。比如單位圓的隱式方程是x^2+y^2-1=0。 隱函数（）是由隱式方程間接定義的函數，比如 y=\sqrt{1-x^2} 是由 x^2+y^2-1=0 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如y=\cos(x)。 隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。 例子 反函数 隐函数…
矩阵微积分
在数学中，矩阵微积分是多元微积分的一种特殊表达，尤其是在矩阵空间上进行讨论的时候。它把单个函数对多个变量或者多元函数对单个变量的偏导数写成向量和矩阵的形式，使其可以被当成一个整体被处理。這使得要在多元函數尋找最大或最小值，又或是要為微分方程系統尋解的過程大幅簡化。这里我们主要使用统计学和工程学中的惯用记法，而张量下标记法更常用于物理学中。 记法与术语说明 本条目中，我们使用单个字母变量来表示多个变量的集合体（向量和矩阵），这样可以充分利…
多元微积分
在微积分学中，多元微积分，也称为多变量微积分（，）是涉及多元函數的微積分學的統稱。相较于只有单个变量的一元微积分，多元微积分在函数的求导和积分等运算中含有至少两个变量。例如微分多元函數時，就引申出偏微分、全微分，對多元函數進行積分計算時，又會涉及多重積分。 历史 多元函数的概念很早就出现在物理学中，因为人们常常要研究取决于多个其他变量的物理量。例如托马斯·布拉德华曾试图寻找运动物体的速度、动力和阻力之间的关系。不过从十七世纪开始，这个概…
體積積分
数学（特別是多元微积分）裡的體積積分（∭），也稱為體積分，是在三維空間下的积分，是一種多重积分。體積積分在物理学上的許多應用都很重要，例如用通量密度計算通量，或是從密度函數計算質量。 座標系 多半會用微分體積元素 dV=dx\, dy\, dz 來說明體積積分。 \iiint_D f(x,y,z)\,dV. 體積積分也是函数 f(x,y,z)在區域D \subset \R^3裡的多重积分，常常寫成下式： \iiint_D f(x,y,z…
全微分
在微积分中，函数f在某一点的全微分（）是指该函数在该点附近关于其自变量的最佳线性近似。与偏微分不同，全微分反映了函数关于其所有自变量的线性近似，而非单个自变量。 全微分可視為單變數函數的微分在多變數函數上的推廣：单变量函数的全微分与其微分的定義相同；而多變數函數在某點的全微分為一線性映射，通常可用矩陣或向量表示。例如，对于二元函数 \textstyle f(x, y)，设f在点 (x_0,y_0) 的某个邻域内有定义，\scriptst…
微分算子
在数学中，微分算子（）是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数。 记号 最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}、D（在不會搞混哪个变量微分時），以及D_x（指明了变量）。 一阶导数如上所示，但当取更高阶n-次导数时，下列替代性记号是有用的：\mathrm{d}^n \over \mathrm{d…
二阶导数的对称性
二阶导数的对称性，也称为混合导数的相等，或杨定理（），指取一个n元函数 :f(x_{1},x_{2}, \dots ,x_{n}) 的偏导数可以交换。如果关于x_{i}的偏导数用一个下标i表示，则对称性断言二阶偏导数f_{ij}满足等式 :f_{ij}=f_{ji} 从而它们组成一个n×n 对称矩阵。 黑塞矩阵是典型对称的 f的二阶偏导数称为f的黑塞矩阵。主对角线之外的元素是混合导数；即关于不同两个变量相继之导数。 在最正常的情形黑塞矩…
曲率
在数学中，率（）即“弯曲度”，是描述几何体弯曲程度的量；直观地说，曲率是曲线偏离直线的量（程度），或是曲面偏离平面的量（程度）。 在不同的几何学领域中，曲率的具体定义不完全相同。曲率可分为外在曲率和内蕴曲率，二者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧氏空间中，后者则是直接定义在黎曼流形上。 曲线的曲率通常是标量，但也可以定义曲率向量。对于更复杂的对象，曲率要用更复杂的线性代数来描述，例如一般的黎曼曲率张量。 平面曲线的曲率 曲率有…
拉格朗日乘数
在数学中的最优化问题中，拉格朗日乘数法（，以数学家约瑟夫·拉格朗日命名）是一种寻找多元函数在其变量受到一个或多个条件的约束时的局部极值的方法。 方法說明 對一個有 n 个变量与 k 个约束条件的最优化问题，拉格朗日乘數法會將其转换成一个 n+k 个变量的方程组，稱作拉格朗日方程（），這個方程組的解將包括所有最優化問題的解。拉格朗日乘數法將會引入一个或一组新的未知数，即拉格朗日乘数（），又称拉格朗日乘子，或拉氏乘子，它们是在转换后的方程，…
多重积分
多重积分（）是定积分的一类，它将定积分扩展到多元函数（多变量的函数），例如求f(x,y)或者f(x,y,z)类型的多元函数的积分。 简介 正如单变量的正函数的定积分代表函数图像和x轴之间区域的面积一样，正的双变量函数的双重积分代表函数所定义的曲面和包含函数定义域的平面之间所夹的区域的体积。（注意同样的体积也可以通过三变量常函数f(x, y, z) = 1在上述曲面和平面之间的区域中的三重积分得到。若有更多变量，则多元函数的多重积分给出超…
參數方程
]] 參數方程（）和函數相似，都是由一些在指定的集合的數，稱為參數或自變數，以決定因變數的結果。例如在運動學，參數通常是「時間」，而方程的結果是速度、位置等。 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数： : \begin{cases} x = f(t)\\ y = g(t) \end{cases} 并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方…
水平集
在数学领域中, 一个具有n变量的实值函数f的水平集是具有以下形式的集合 : { (x1,...,xn) | f(x1,...,xn) = c } 其中 c 是常数. 即, 使得函数值具有给定常数的变量集合. 当具有两个变量时, 称为水平曲线(等高线), 如果有三个变量, 称为水平曲面, 更多变量时, 水平集被叫做水平超曲面. 集合 : { (x1,...,xn) | f(x1,...,xn) ≤ c } 被称为 f 的 子水平集 . 其…