微分算子

在数学中，微分算子（）是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数。

记号
最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}、D（在不會搞混哪个变量微分時），以及D_x（指明了变量）。

一阶导数如上所示，但当取更高阶n-次导数时，下列替代性记号是有用的：\mathrm{d}^n \over \mathrm{d}x^n、D^n、D^n_x。

记号D的发明与使用归于奥利弗·亥维赛，他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子

: \sum_{k=0}^n c_k D^k

另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为

:\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}

另一个微分算子是Θ算子，定义为

:\Theta = z {\mathrm{d} \over \mathrm{d}z}

有时候这也称为齐次算子，因为它的本征函数是关于z的单项式：

:\Theta(z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\dots

在n个变量中齐次算子由

:\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}

给出。与单变量一样，Θ的本征空间是齐次多项式空间。

一个算子的伴随
给定一个线性微分算子T
: Tu = \sum_{k=0}^n a_k (x) D^k u，
这个算子的伴随定义为算子T^*使得
: \langle Tu,v \rangle = \langle u, T^*v \rangle
这里记号\langle\cdot,\cdot\rangle表示数量积或点积。从而此定义取决于数乘的定义。

单变量中的形式伴随
在平方可积函数空间中，数量积定义为

: \langle f, g \rangle = \int_a^b f (x) \, \overline{g (x)} \,\mathrm{d}x

如果另外增添要求f或g当x \to a与x \to b等于零，我们也可定义T的伴随为

: T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k (x)u]

此公式不明显地取决于数量积的定义，故有时作为伴随算子的一个定义。当T^用这个公式定义时，它称为T*的形式伴随。

一个（形式）自伴算子是与它的（形式）伴随相等的算子。

多变量
如果Ω是Rn中一个区域，而P是Ω上一个微分算子，则P在L2(Ω)中的伴随由对偶性以类似的方式定义：

:\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}

对所有光滑L2函数f与g。因为光滑函数在L2中是稠密的，这在L2的一个稠密子集上定义了伴随：: P*是一个稠定算子。

例子
施图姆-刘维尔算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子L可以写成如下形式

: Lu = -(pu')'+qu=-(pu+p'u')+qu=-pu-p'u'+qu=(-p)D^2 u +(-p') D u +(q)u.\;\!

这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。

: \begin{align}
L^*u & {} =(-1)^2 D^2 [(-p)u] +(-1)^1 D [(-p')u] +(-1)^0 (qu) \\
& {} = -D^2 (pu) + D(p'u)+qu \\
& {} = -(pu)*+(p'u)'+qu \\
& {} = -pu-2p'u'-pu+p*u+p'u'+qu \\
& {} = -p'u'-pu*+qu \\
& {} = -(pu')'+qu \\
& {} = Lu
\end{align}

这个算子在施图姆-刘维尔理论（）
中的关键，其中考虑了这个算子本征函数（类比于本征向量）。

微分算子的性质
微分是线性的，即

:D(f+g) =(Df)+(Dg)

:D (af) = a (Df)

这里f和g是函数，而a是一个常数。

任何以函数为系数之D的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则

:(D_1 \circ D_2,f) = D_1(D_2(f))

复合微分算子。需要一些注意：首先算子D2中的任何函数系数必须具有D1所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环，我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二，这个环不是交换的：一个算子gD一般与Dg不同。事实上我们有例，如在量子力学中的基本关系：

:Dx - xD = 1

但这些算子的子环：D的常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画：它由平移不变算子组成。

微分算子也服从移位定理（）。

多变量
同样的构造可对偏导数也成立，关于不同的变量微分给出可交换的算子。

坐标无关描述以及与交换代数的关系
在微分几何与代数几何中，通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设E与F是流形M上两个向量丛。截面的一个\mathbb{R}-线性映射P: \Gamma (E) \rightarrow \Gamma (F)称为一个*k-阶微分算子**，如果它分解穿过节丛J^k (E)。换句话说，存在一个向量丛的线性映射

:i_P: J^k (E) \rightarrow F

使得

:P = \hat{i}_P\circ j^k

这里\hat{i}_P表示由i_P，在截面上诱导的映射，而j^k:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma(J^k(E))，是典范（或通用）k-阶微分算子。

这恰好意味着对一个给定的截面s of E，P (s)在一个点x\in M的值完全由s在x的k-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着P (s)(x)由s在x的芽决定，这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理（）证明了逆命题也是正确的：任何局部算子是微分。

线性微分算子的一个等价的，但纯代数的描述如下：
一个\mathbb{R}-线性映射P是一个k-阶微分算子，如果对任何(k + 1)阶光滑函数f_0,\ldots,f_k \in C^\infty (M)我们有

:[f_k[f_{k-1}[\cdots[f_0,P]\cdots]]=0

这里括号[f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)定义为交换子

:f,P=P(f\cdot s)-f\cdot P (s)

线性算子的这个刻画说明，它们是一个交换代数上的模之间的一个特殊映射，使这个概念可视为交换代数的一部分。

例子

• 在物理学的应用中，像拉普拉斯算子在建立与求解偏微分方程中起着主要的作用。
• 在微分拓扑中，外导数与李导数算子有内蕴意义。
• 在抽象代数中，导子的概念是微分算子不要求分析的一个推广。通常这样的推广用于代数几何与交换代数。另见节。

注释
參見

• 差分算子

*

• 分数微积分