偏导数
在数学中，偏导数（）的定義是：一個多變量的函数（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他变量恒定。 偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。 函数f关于变量x的偏导数写为f_x^{\prime}或\frac{\partial f}{\partial x}。偏导数符号\partial是全导数符号 d的变体，由阿德里安-马里·勒让德引入，并在雅可比的重新引入后得到普遍接受。 简介 假设 f 是一个…
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共 18 篇文章
齐次函数
在數學中，齐次函数（）是一個有倍數性質的函數：如果变數乘以一個係數，則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。 正式定义 假设 f: V \rarr W 是域 F 内的两个向量空间之间的函数。 我们说 f 是“ k 次齐次函数”，如果对于所有非零的 \alpha \isin F 和 \mathbf{v} \isin V ，都有： : f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) 即是，在歐幾里…
倒三角算符
倒三角算符，又称向量微分算子、Nabla算子（Nabla）、Del算子（del operator），符号为∇，是一个向量微分算子，但本身並非一個向量。 其形式化定义为： \nabla = {\mathrm d \over \mathrm dr} 在n维空间中，分母\mathrm dr为含n个分量的向量，因而\nabla本身就是个n维向量算子。 三维情况下，\nabla = {\frac{\partial }{\partial x}}\m…
黑塞矩陣
海森矩陣（德語：Hesse-Matrix，英語：或），又譯作黑塞矩阵、海塞（赛）矩陣或海瑟矩陣等，是一個由多變量實值函數的所有二階偏導數組成的方陣，由德國數學家奧托·黑塞引入並以其命名。 定義 假設有一實值函數f(x_1, x_2, \dots, x_n)\,，如果 f\,的所有二階偏導數都存在並在定義域內連續，那麼函數f\,的黑塞矩陣為 :\mathbf{H} = \begin{bmatrix}\frac {\partial^2 f}…
拉普拉斯-德拉姆算子
拉普拉斯–德拉姆算子是在微分流形的外代数上定义拉普拉斯微分算子，该算子在黎曼流形上为椭圆型算子，在洛伦兹流形上则为双曲型算子。拉普拉斯–德拉姆算子（）定义为 :\Delta= \mathrm{d}\delta+\delta\mathrm{d} = (\mathrm{d}+\delta)^2,\; d 为外导数， δ 为余微分。当余微分作用在数量函数时，可定义为 δ = −d（ 为霍奇星算子）；一般情况下，余微分的表达式中包含与所作用的 …
拉普拉斯算子
在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（）是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子，通常寫成 \Delta 、 \nabla^2 或 \nabla \cdot \nabla 。 這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經…
狄拉克算子
在数学和量子力学中，狄拉克算子（）是一个微分算子，它是二阶微分算子（如拉普拉斯算子）的形式平方根。保罗·狄拉克研究的原始案例是形式分解闵可夫斯基空间的算子，得到一种与狭义相对论兼容的量子理论形式；为了得到由一阶算子产生的拉普拉斯算子，他引入了旋量。 形式定义 一般的，令D是作用于黎曼流形M上的向量丛V的一阶微分算子。如果 : D^2=\Delta, \, 其中∆是V上的拉普拉斯算子，则D被称为狄拉克算子。 在高能物理中，这个条件经常被放…
全微分
在微积分中，函数f在某一点的全微分（）是指该函数在该点附近关于其自变量的最佳线性近似。与偏微分不同，全微分反映了函数关于其所有自变量的线性近似，而非单个自变量。 全微分可視為單變數函數的微分在多變數函數上的推廣：单变量函数的全微分与其微分的定義相同；而多變數函數在某點的全微分為一線性映射，通常可用矩陣或向量表示。例如，对于二元函数 \textstyle f(x, y)，设f在点 (x_0,y_0) 的某个邻域内有定义，\scriptst…
微分算子
在数学中，微分算子（）是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数。 记号 最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}、D（在不會搞混哪个变量微分時），以及D_x（指明了变量）。 一阶导数如上所示，但当取更高阶n-次导数时，下列替代性记号是有用的：\mathrm{d}^n \over \mathrm{d…
梯度
表示，越暗表示越大的数值，而其相应的梯度用藍色箭头表示。]] 在向量微积分中，梯度（）是一种关于多元导数的概括。平常的一元（单变量）函数的导数是标量值函数，而多元函数的梯度是向量值函数。多元可微函数f在点P上的梯度，是以f在P上的偏导数为分量的向量。 就像一元函数的导数表示这个函数图形的切线的斜率，如果多元函数在点P上的梯度不是零向量，則它的方向是这个函数在P上最大增长的方向、而它的量是在这个方向上的增长率。 梯度向量中的幅值和方向是与…
泛函导数
在数学和理论物理中，泛函导数是方向导数的推广。后者对一个有限维向量求微分，而前者则对一个连续函数（可视为无穷维向量）求微分。它们都可以认为是简单的一元微积分中导数的扩展。数学里专门研究泛函导数的分支是泛函分析。 定义 设有流形 M 代表（连续/光滑/有某些边界条件等的）函数 φ 以及泛函 F： ::F\colon M \rightarrow \mathbb{R} \quad \mbox{or} \quad F\colon M \righ…
达朗贝尔算符
达朗贝尔算子是拉普拉斯算子在闵可夫斯基时空中的形式，此算子符號為正方形的，以表示是在四維的闵可夫斯基时空中。 表达式 达朗贝尔算子定义为： : \Box^2 = \partial^\mu \partial_\mu = \eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu = - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\, 其中 c 是光速，…
拉普拉斯-贝尔特拉米算子
在微分几何中，拉普拉斯算子可以推广为定义在曲面，或更一般地黎曼流形与伪黎曼流形上，函数的算子。这个更一般的算子叫做拉普拉斯－贝尔特拉米算子（）。与拉普拉斯算子一样，拉普拉斯–贝尔特拉米算子定义为梯度的散度。这个算子作为共变导数的散度，可以延拓到张量上的算子。或者，利用散度与外导数，这个算子可以推广到微分形式上的算子，所得的算子称为拉普拉斯－德拉姆算子（）。 拉普拉斯－贝尔特拉米算子 就像拉普拉斯算子一样，定义拉普拉斯－贝尔特拉米算子为梯…
外微分
数学上，微分拓扑的外微分算子，把一个函数的微分的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在流形上的积分理论中极为重要，并且是德拉姆上同调和Alexander-Spanier上同调中所使用的微分算子。其现代形式是由嘉当发明的。 定义 一个k阶的微分形式的外微分是一个k+1阶的微分形式。 对于一个k-形式ω = ΣI fI dxI在Rn上，其定义如下： ::d{\omega} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_I}…
混合偏导数
以下分為兩種意義來講，分別是數學意義及物理意義 ::數學意義:即為偏導數頁面所看到之數學式，即在某個變量上有微小的變化，計算時將其他變量視為常數。 ::物理意義:在多維空間，前後分別固定多個平面(幾階即固定幾個平面)上的變量。
次椭圆形算子
次椭圆型算子是数学偏微分方程中的微分算子。开集U\subset \mathbb{R}^n中的偏微分算子P被称为次椭圆型算子，如果对开子集V\subset U中定义的任何分布u都满足Pu和u都是C^{\infty}光滑。
微分几何中的拉普拉斯算子
微分几何中，有多个二阶线性椭圆型微分算子称为拉普拉斯算子（）。本文给出它们的一个概览。 联络拉普拉斯算子 联络拉普拉斯算子（）是作用在流形上多个张量丛上的微分算子，利用一个黎曼或伪黎曼度量来定义。当作用在函数（即秩为 0 的张量）上时，联络拉普拉斯算子称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子。它定义为第二共变导数的迹： :\Delta T= \text{tr}\;\nabla^2 T, 这里 T 是任何张量，\nabla 是与度量相伴的列维-奇维塔…
椭圆算子
上的拉普拉斯方程上的一个解。拉普拉斯算子是椭圆算子的最有名的一个例子。]] 椭圆算子是数学偏微分方程理论中的一类微分算子，它是拉普拉斯算子的泛化。椭圆算子定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子，这意味着算子没有实的特征方向。 椭圆算子是典型的位势论，并且它们频繁地出现在静电学和连续介质力学中。椭圆算子的正则性意味着它的解通常是光滑函数（如果算子的系数是光滑的）。方程和抛物方程的稳定解通常要求解椭圆方程。 定义 \mathbb{R}^n…