狄拉克算子

在数学和量子力学中，狄拉克算子（）是一个微分算子，它是二阶微分算子（如拉普拉斯算子）的形式平方根。保罗·狄拉克研究的原始案例是形式分解闵可夫斯基空间的算子，得到一种与狭义相对论兼容的量子理论形式；为了得到由一阶算子产生的拉普拉斯算子，他引入了旋量。

形式定义
一般的，令D是作用于黎曼流形M上的向量丛V的一阶微分算子。如果
: D^2=\Delta, \,
其中∆是V上的拉普拉斯算子，则D被称为狄拉克算子。

在高能物理中，这个条件经常被放松：只有D2的二阶部分必须等于拉普拉斯算子。

例子
例1: D=-i∂x是作用在直线上的切线丛的狄拉克算子。

例2: 我们现在考虑一个物理学中重要的简单丛：一个限制在平面上带有½自旋的粒子的位形空间，这也是一个基本流形。它被表示为波函数ψ: R2→C2
:: \psi(x,y) = \begin{bmatrix}\chi(x,y) \\ \eta(x,y)\end{bmatrix}
其中x和y是R2上的坐标。χ表示自旋向上粒子的概率幅，η与之类似。所谓的自旋狄拉克算子可以被写为
:: D=-i\sigma_x\partial_x-i\sigma_y\partial_y,\,
其中σi 是泡利矩阵。通过泡利矩阵的反对易关系可以知道上面定义的性质是显然的。这些定义了克利福德代数的概念。

旋量场的狄拉克方程的解常被称为调和旋量。

例3: 描述三维空间中自由费米子的传播的狄拉克算子可以写为
:: D=\gamma^\mu\partial_\mu\ \equiv \partial\!\!\!/,
其中用到费曼斜线标记。

例4: 在中也有狄拉克算子。 在n维欧几里得空间中是
:: D=\sum_{j=1}^{n}e_{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}}
其中{ej: j = 1, ..., n}是n维欧几里得空间的标准正交基，考虑Rn嵌入一个克利福德代数。

这是阿蒂亚-辛格-狄拉克算子作用于旋量丛的特殊情形。

例5: 对于一个，M，阿蒂亚-辛格-狄拉克算子局部定义如下：对于x∈M和M在x处的切空间的局部标准正交基e1(x), ..., ej(x)，阿蒂亚-辛格-狄拉克算子是
:: \sum_{j=1}^{n}e_{j}(x)\tilde{\Gamma}_{e_{j}(x)},
其中\tilde{\Gamma}是从M上的列维-奇维塔联络到M上的旋量丛的提升。

推广
在克利福德分析中，算子D: C∞(Rk ⊗ Rn,S)→C∞(Rk ⊗Rn,Ck ⊗S)作用在如下定义的旋量值函数
: f(x_1,\ldots,x_k)\mapsto
\begin{pmatrix}
\partial_{\underline{x_1}}f\\
\partial_{\underline{x_2}}f\\
\ldots\\
\partial_{\underline{x_k}}f\\
\end{pmatrix}

有时被称为k克利福德变量的狄拉克算子。上面符号中，是旋量空间，S是旋量空间，x_i=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{in}) 是n维变量，\partial_{\underline{x_i}}=\sum_j e_j\cdot \partial_{x_{ij}}是狄拉克算子在第i个变量的分量。这是狄拉克算子（k=1）和（n=2，k 任意）的一般推广。这是一个，在群SL(k)×Spin(n)的作用下不变。D的只在一些特殊情形是已知的。

另请参阅
*狄拉克方程
*克利福德代数
*
*联络
*
*热核
*旋量丛

参考资料
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