齐次函数

在數學中，齐次函数（）是一個有倍數性質的函數：如果变數乘以一個係數，則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。

正式定义
假设 f: V \rarr W 是域 F 内的两个向量空间之间的函数。

我们说 f 是“ k 次齐次函数”，如果对于所有非零的 \alpha \isin F 和 \mathbf{v} \isin V ，都有：

: f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v})

即是，在歐幾里得空間， f(\alpha \mathbf{v}) = f(k) \ f(\mathbf{v}) ，
其中f(k)為指數函數。

例子

• 线性函数 f: V \rarr W 是一次齐次函数，因为根据线性的定义，对于所有的 \alpha \isin F 和 \mathbf{v} \isin V ，都有：f(\alpha \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v})
• 多线性函数 f: V_1 \times \ldots \times V_n \rarr W 是n次齐次函数，因为根据多线性的定义，对于所有的 \alpha \isin F 和 \mathbf{v}_1 \isin V_1,\ldots,\mathbf{v}_n \isin V_n 都有：f(\alpha \mathbf{v}_1,\ldots,\alpha \mathbf{v}_n)=\alpha^n f(\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_n)
• 从上一个例子中可以看出，两个巴拿赫空间X和Y之间的函数f: X \rightarrow Y的n阶弗雷歇导数是n次齐次函数。
• n元单项式定义了齐次函数 f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}。

例如：
:f(x,y,z)=x^5y^2z^3
是10次齐次函数，因为：
:(\alpha x)^5(\alpha y)^2(\alpha z)^3=\alpha^{10}x^5y^2z^3。

• 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如：

:x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4
是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。

基本定理

• 欧拉定理：假设函数 f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}是可导的，且是 k 次齐次函数。那么：

: \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})= kf(\mathbf{x}) \qquad 。

这个结果证明如下。记f=f(x_1,\ldots,x_n)=f(\mathbf{x}) ，并把以下等式两端对\alpha求导：
:f(\alpha \mathbf{x})=\alpha^k f(\mathbf{x})
利用复合函数求导法则，可得：
:\frac{\partial}{\partial \alpha x_1}f(\alpha\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha x_1)+ \cdots +\frac{\partial}{\partial \alpha {x_n}}f(\alpha\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha x_n) = k \alpha ^{k-1} f(\mathbf{x})，
因此：
:x_1\frac{\partial}{\partial
\alpha x_1}f(\alpha\mathbf{x})+ \cdots +
x_n\frac{\partial}{\partial \alpha x_n}f(\alpha\mathbf{x}) = k \alpha^{k-1} f(\mathbf{x})。
以上的方程可以用劈形算符写为：
: \mathbf{x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf{x}) = k \alpha^{k}f(\mathbf{x}), \qquad \nabla=(\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n})，
当\alpha=1，定理即得证。

• 假设 f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}是可导的，且是 k 阶齐次函数。则它的一阶偏导数\partial f/\partial x_i是 k-1阶齐次函数。

这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记f=f(x_1,\ldots,x_n)=f(\mathbf{x}) ，并把以下等式两端对x_i求导：
:f(\alpha \mathbf{x})=\alpha^k f(\mathbf{x})
利用复合函数求导法则，可得：
:\frac{\partial}{\partial \alpha x_i}f(\alpha\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_i}(\alpha x_i) = \alpha ^k \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_i}(x_i)，
因此：
:\alpha\frac{\partial}{\partial \alpha x_i}f(\alpha\mathbf{x}) = \alpha ^k \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{x})
所以
:\frac{\partial}{\partial \alpha x_i}f(\alpha\mathbf{x}) = \alpha ^{k-1} \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{x}).

用于解微分方程
对于以下的微分方程
: I(x, y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + J(x,y) = 0,
其中I和J是同次数的齐次函数，利用变量代换v=y/x，可以把它化为可分离变量的微分方程：
:x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-\frac{J(1,v)}{I(1,v)}-v。

参考文献
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外部链接
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