茶年 · 中文维基百科

拉普拉斯算子

Wikipedia · 2025-12-15 维基百科 👁 2 阅读

在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（）是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子，通常寫成 \Delta 、 \nabla^2 或 \nabla \cdot \nabla 。

這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零 \Delta f = 0 的函數稱為调和函数，现在称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。

拉普拉斯算子有許多用途，此外也是椭圆算子中的一個重要例子。

拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程裡。例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流体力学以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程中的動能項。

拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子，并且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯算子已经被用于诸如斑点检测和边缘检测等的各种任务。

定义
拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为對函數 f 先作梯度運算（\nabla f）後，再作散度運算（\nabla \cdot \nabla f）的結果。因此如果 f 是二阶可微的实函数，则 f 的拉普拉斯算子定义为：

:\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f ── (1)

f 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 x_i 中的所有非混合二阶偏导数：

:\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i} ── (2)

作为一个二阶微分算子，对于k ≥ 2，拉普拉斯算子把Ck函数映射到Ck-2函数。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：Ck(Rn)→ Ck-2(Rn)，或更一般地，定义了一个算子Δ：Ck(Ω)→ Ck-2(Ω)，对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹：

:\Delta f = \mathrm{tr}(H(f)).\,\!

坐標表示式
二維空間
::\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

:其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒坐標
:另外極坐標的表示法為：
:: \Delta f
= {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right)

  • {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}

三維空間
:笛卡兒坐標系下的表示法
::
\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.

:圓柱坐標系下的表示法
:: \Delta f
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
\left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right)

  • {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
  • {\partial^2 f \over \partial z^2 }.

:球坐標系下的表示法
:: \Delta f
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
\left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)

  • {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}

\left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)

  • {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.

N维空间
在参数方程为x=r\theta \in {\mathbb R}^N（其中r \in [0,+\infty)以及 \theta \in S^{N-1}）的N维球坐标系中，拉普拉斯算子为：

: \Delta f
= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2}

  • \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}
  • \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f

其中\Delta_{S^{N-1}}是N-1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把{\partial^2 f \over \partial r^2}

  • \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}的项写成\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \Bigr)。

恒等式

  • 如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：

:\Delta(fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot(\nabla g))+f(\Delta g)。

f是径向函数f(r)且g是球谐函数Y_{lm}(\theta,\phi)，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：

:2(\nabla f(r))\cdot(\nabla Y_{lm}(\theta,\phi))=0。

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：

:\Delta Y_{\ell m}(\theta,\phi) = -\frac{\ell(\ell+1)}{r^2} Y_{\ell m}(\theta,\phi)。

因此：

:\Delta( f(r)Y_{\ell m}(\theta,\phi)) = \left(\frac{d^2f(r)}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{df(r)}{dr} - \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta,\phi)。

谱理论
拉普拉斯算子的谱由特征值\lambda和对应的特征函数f组成，满足：

-\Delta f = \lambda f

这就是所谓的亥姆霍兹方程。

如果\Omega 在\mathbb{R}^n中有界，拉普拉斯算子的特征函数是希尔伯特空间L^2(\Omega)下的一组标准正交基。这主要是因为紧自伴随算子的谱定理，适用于拉普拉斯的逆算子（根据庞加莱不等式和Rellich-Kondrachov定理，它是紧算子）。这也可以表明特征函数是无穷阶可微的函数。更一般地说，这些结果对任何有界紧黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子都是成立的，或者说对任何有边界上具有光滑系数的椭圆算子的Dirichlet特征值问题也成立。当Ω为N维球面时，拉普拉斯的特征函数是球谐函数。

推广
复杂空间上的实值函数
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆算子、双曲算子、或超双曲算子。

在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子（）：
:\square =
{\partial^2 \over \partial x^2 } +
{\partial^2 \over \partial y^2 } +
{\partial^2 \over \partial z^2 } -
\frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }.

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。
值域爲复杂空间
向量值函數的拉普拉斯算子
拉普拉斯算子作用在向量值函數上，其結果被定義爲一個向量，這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯，卽
:\nabla^2 \mathbf{A} =(\nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z)．
更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恒等式的啓發）：
: \nabla^2 \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times(\nabla \times \mathbf{A}) ，也可用類似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定義，然後證明“旋度的旋度”向量恒等式．

拉普拉斯－贝尔特拉米算子
拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。

另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。

参见
*在圆柱和球坐标系中的del

参考文献
*
*
*

外部連結

#皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 #場論 #多变量微积分 #微分算子 #调和函数

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。