脊检测
脊检测（）為試圖尋找相片中的脊的位置之方法。在數學及電腦視覺等領域中，一個雙變數光滑函數的脊（或是稱作為脊集合）是所有至少在一個維度中是局部最大值的點所形成的曲線的集合，就如同地理上山脊的概念。而一個N變數函數的脊，是所有在N-1個維度中是局部最大值的點所形成的曲線的集合。脊可以看作是局部最大值的延伸。相對的，一個函數的谷可以以類似的方式定義，只要以局部最小值取代脊定義中的局部最大值的部份。 脊集合與谷集合表現了一個函數直覺上的幾何資訊…
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共 11 篇文章
射流 (数学)
射流，也称节（）在数学中是指取一个可微函数f并在其定义域的每一点产生一个多项式，也就是f的截尾泰勒多项式的操作。虽然这是一个射流的定义，射流理论将这些多项式作为抽象多项式而不是多项式函数。 欧氏空间之间的函数的射流 在给出一个射流的严格定义之前，有必要查看一些特殊情况。 例：一维情况 设f: {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}是实值函数，在点x_0的领域U有至少k+1阶导数。那么根据泰勒定理， :f(x)…
莫尔斯理论
在微分拓扑中，莫尔斯理论使人们能通过流形上的可微函数分析流形的拓扑。根据马斯顿·莫尔斯的基本见解，流形上的可微函数在典型的情况下，直接反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW结构和柄分解，并得到关于它们的同调的信息。 在莫尔斯之前，阿瑟·凯莱和麦克斯韦在测绘学中发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于测地线（路径的能量泛函的临界点）。这些技术被拉乌尔·博特用于他的著名的博特周期性定理的证明中。 莫尔斯理论在复…
微分同胚
在數學中，微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射，使得此映射及其逆映射均為光滑（即無窮可微）的。 定義 對給定的兩個微分流形M, N，若對光滑映射f: M \to N，存在光滑映射g: N \to M使得f \circ g = \mathrm{id}_N、g \circ f = \mathrm{id}_M，則稱f為微分同胚。此時逆映射g是唯一的。 若在微分流形M, N之間存在微分同胚，則稱M與N是微分同胚的…
前推 (微分)
假设 \phi: M\rightarrow N 是光滑流形之间的光滑映射；则 \phi 在一点 x 处的微分在某种意义上是 \phi 在 x 附近的最佳线性逼近。这可以视为通常微积分中全导数的推广。确切地说，它是从 M 在 x 处的切空间到 N 在 \phi(x) 处的切空间的一个线性映射，从而可以将 M 的切向量“前推”成 N 的切向量。 映射 \phi 的微分也被一些的作者称为 \phi 的导数或全导数，有时它自己也之称为前推（）。…
浸没 (数学)
数学中，浸没（submersion）是微分流形之间的可微映射，其微分处处为满射。这是微分拓扑中的一个基本概念。浸没与浸入对偶。 定义 令M、N是微分流形，f\colon M\to N是它们间的可微映射。映射f是点p\in M处的浸没，若其微分 :Df_p \colon T_p M \to T_{f(p)}N 是线性满射。这种情况下，p被称作映射f的正则点（regular point）；否则，p就是临界点。若原像f^{-1}(q)中所有的…
分布 (数学分析)
数学分析中，分布（distribution）是广义函数的一种，由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入，因此又称施瓦兹分布（Schwartz distribution）、施瓦兹广义函数（Schwartz generalized function）。分布推广了普通意义上的函数概念：对于普通意义上不可导甚至不连续的函数，可以具备分布意义上的导数。事实上，任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中，常常使用分布来…
速降函数空间
速降函数空间（Schwartz space）是数学中一类函数的总称，也称为施瓦茨空间，指的是当 X 值趋向于无穷大时，函数值 f(X) 趋近0的速度“足够快”的函数。速降函数空间的一个重要性质是傅里叶变换对于这个空间是一个自同构，也就是说，速降函数进行傅里叶变换之后仍然会是速降函数。这个性质使得可以对 \mathcal{S} 的对偶空间中的元素，也就是缓增广义函数，来定义其傅里叶变换。速降函数空间的别称“施瓦茨空间”得名于法国数学家洛朗…
柔化函数
在数学中，柔化函数（）是某种特殊的光滑函数。在分布理论中，柔化函数和某个不光滑的目标函数（可以是广义的函数）的卷积将是光滑的，因此通过取一系列的柔化函数，我们可以以卷积的方式来“逼近”目标函数。直觉上，给定某个不光滑的函数，它和柔化函数卷积之后变得“柔滑”了。比如说一个有“棱角”的函数，和柔化函数的卷积将会使得“棱角”被“磨圆”，但这个卷积函数的形状仍然和原来的（广义）函数“大致”一样。最早提出柔化函数概念的数学家是Kurt Otto …
光滑函数
光滑函数（）在数学中特指无穷可导的函数，不存在尖点，也就是说所有的有限阶导数都存在。例如，指数函数就是光滑的，因为指数函数的导数是指数函数本身。 若一函数是连续的，则称其为C^0函数；若函数存在导函数，且其導函數連續，則稱為连续可导，記为C^1函数；若一函数n阶可导，并且其n阶导函数连续，则为C^n函数（n\geq 1）。而光滑函数是对所有n都属于C^n函数，特称其为C^\infty函数。 按照要求构造光滑函数 构造在给定区间外为零但在…
浸入
浸入到3-空間中。]] 數學上，浸入是微分流形之間的可微映射，其導數處處是單射。確切而言，f : M → N是浸入，若在M中每一點p， :D_pf : T_p M \to T_{f(p)}N\, 都是单射。（TpX表示X在點p處的切空間。另一個等價說法是f是浸入，若f的秩是常數，且等於M的維數： :\operatorname{rank}\,D_p f = \dim M. 以上只要求f的導數為單射，但映射f未必是單射。 一個與浸入相關的概…