微分同胚

在數學中，微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射，使得此映射及其逆映射均為光滑（即無窮可微）的。

定義
對給定的兩個微分流形M, N，若對光滑映射f: M \to N，存在光滑映射g: N \to M使得f \circ g = \mathrm{id}_N、g \circ f = \mathrm{id}_M，則稱f為微分同胚。此時逆映射g是唯一的。

若在微分流形M, N之間存在微分同胚，則稱M與N是微分同胚的，通常記為M \simeq N。

對於C^r流形，可採同樣辦法定義C^r微分同胚之概念。

例子
考慮
: \mathbb{R}/\mathbb{Z} \simeq S^1
此微分同胚可由下述映射給出：
:x\mapsto e^{2\pi ix}.

與同胚的關係
對維度\leq 3的流形，可證明同胚的流形必為微分同胚；換言之，此時流形上的拓撲結構確定了微分結構。在四維以上則存在反例，最早的構造是約翰·米爾諾的七維怪球，米爾諾更證明了七維球上恰有28種微分流形結構，它們都可表成某個在S^4上的S^3-叢。在1980年代，西蒙·唐納森與邁克爾·哈特利·弗里德曼的證明在\mathbb{R}^4上有不可數個相異的微分結構。

外部連結
*