假设 \phi: M\rightarrow N 是光滑流形之间的光滑映射；则 \phi 在一点 x 处的微分在某种意义上是 \phi 在 x 附近的最佳线性逼近。这可以视为通常微积分中全导数的推广。确切地说，它是从 M 在 x 处的切空间到 N 在 \phi(x) 处的切空间的一个线性映射，从而可以将 M 的切向量“前推”成 N 的切向量。
映射 \phi 的微分也被一些的作者称为 \phi 的导数或全导数，有时它自己也之称为前推（）。
动机
设 \phi: U\rightarrow V是从 \mathbb{R}^m 的一个开集 U 到 \mathbb{R}^n 的开集 V 的一个光滑映射。对任何 U 中的给定点 x， \phi 在 x 的雅可比矩阵（关于标准坐标）是 \phi 在 x 的全微分的矩阵表示，这是一个从 \mathbb{R}^m 到 \mathbb{R}^n 的线性映射：
:\mathrm d \varphi_x:\mathbb R^m\to\mathbb R^n\ .
我们希望将其推广到 \phi 是“任何”两个光滑流形 M 与 N 之间的光滑映射。
光滑映射的微分
令 \phi: M\rightarrow N 是光滑流形间的光滑映射。给定某点 x \in M，\phi 在 x 的微分或（全）导数是从 M 在 x 的切空间到 N 在 \phi(x) 的切空间一个线性映射
:\mathrm d \varphi_x:T_xM\to T_{\varphi(x)}N\ ,
映射 \operatorname{d}\!\phi_x 运用到切向量 X 上有时称为 X 由 \phi 的前推。前推的确切定义取决于我们怎样定义切向量（不同的定义可参见切空间）。
如果我们定义切向量为通过 x 的曲线等价类，那么微分由
:\mathrm d \varphi_x(\gamma'(0)) = (\varphi \circ \gamma)'(0)
给出，这里 \gamma 是 M 上满足 \gamma(0)=x 的一条曲线。换句话说，一条曲线 \gamma 在 0 处切向量的前推恰好是 \phi \circ \gamma 在 0 处的切向量。
另一种方式，如果切向量定义为作用在光滑实值函数上的导子，那么微分由
:\mathrm d\varphi_x(X)(f) = X(f \circ \varphi)
给出，这里 X \in T_x M，从而 X 是定义在 M 上的一个导子而 f 是 N 上一个光滑实值函数。根据定义，在给定 M 上 x 处 X 的前推在 T_{\phi(x)}N中，从而定义了一个 N 上的导子。
取定 x 与 \phi(x) 附近的坐标卡以后，F 局部由 \mathbb{R}^m 与 \mathbb{R}^n 之间的光滑映射
:{\hat \varphi} : U \rightarrow V
确定。而 \operatorname{d}\!\phi_x 具有表示（在 x 附近）：
:\mathrm d \varphi_x\Bigl(\frac{ \partial }{\partial u^a}\Bigr) = \frac{\partial {\hat \varphi}^b}{\partial u^a} \frac{ \partial }{\partial v^b},
这里使用了爱因斯坦求和约定，偏导数对 x 坐标卡相应的 U 中的点取值。
线性扩张得到如下矩阵
:(\mathrm d\varphi_x)_a^{\;b}= \frac{\partial {\hat\varphi}^b}{\partial u^a}.
从而光滑映射 \phi 在每一点的微分是切空间之间的一个线性变换。从而在某些选定的局部坐标下，它表示为相应的从 \mathbb{R}^m 到 \mathbb{R}^n 光滑映射的雅可比矩阵。一般情形，微分不要求可逆。如果 \phi 是一个局部微分同胚，那么在 x 点的前推是可逆的，其逆给出 T_{\phi(x)}N 的拉回。
另外，局部微分同胚的微分是切空间之间的线性同构。
微分经常有其他一些记法，比如
:D\varphi_x,\; (\varphi_*)_x, \;\varphi'(x)\ .
从定义可得出复合函数的微分便是微分的复合（即，具有函子性质），这便是光滑函数微分的链式法则。
切丛上的微分
光滑映射 \phi 的微分以显而易见的方式诱导了从 M 的切丛到 N 的切丛的一个丛映射（事实上是向量丛同态），记为 \operatorname{d}\!\phi 或 \phi*，满足如下的交换图表：
这里 \pi_M 与 \pi_N 分别表示 M 与 N 切丛的丛投影。
等价地（参见丛映射），\phi=\operatorname{d}\!\phi 是从 TM 到 M 上的拉回丛 \phi^ TN 的丛映射，这可以看成 M 上向量丛 \hom(TM, \phi^* TN) 的一个截面。
向量场的前推
给定了一个光滑映射 \phi: M\rightarrow N 与 M 上一个向量场 X，一般不能定义 X 通过 \phi 的前推为 N 的一个向量场。譬如，如果映射 \phi 不是满射，则在 \phi 的像外部没有自然的方式定义拉回；如果 \phi 不是单射也有可能在给定一点拉回不止一种选择。无论如何，可以用“沿着映射的向量场”概念将难处变精确。
M 上 \phi^ TN 的一个截面称为沿着 \phi 的向量场。例如，如果 M 是 N 的一个子丛而 \phi 是包含映射，那么沿着 \phi 的向量场恰好是 N 沿着 M 的切丛的一个截面；特别的，M* 上的向量通过 TM 包含到 TN 中定义这样一个截面。这种想法推广到任何光滑映射。
假设 X 是 M 上一个向量场，即 TM 的一个截面。那么，运用逐点微分得出 X 的前推
\phi^ X，这是一个沿着 \phi 的向量场，即 M 上 \phi^ TN 的一个截面。
任何 N 上的向量场 Y 定义了 \phi^ TN 的一个拉回截面 \phi^ Y 使得 (\phi^ Y)_X=Y_{\phi(x)}。M 上一个向量场 X 与 N 上一个向量场 Y 称为 \phi-相关*的，如果作为沿着 \phi 的向量场有 \phiX=\phi^*Y。换句话说，对任何 x 属于 M，有 \operatorname{d}\!\phi_x(X)=Y_{\phi(x)}。
在某些情形，给定 M 上一个向量场 X，N 上只有惟一的向量场 Y 与 X\phi-相关。特别地，这在 \phi 是微分同胚时自然成立。在这种情况下，前推定义了 N 上一个向量场 Y，由
:Y_x=\varphi_*(X_{\varphi^{-1}(x)}).
给出。一个更一般的情形是 \phi 为满射（比如纤维丛的丛投影）。这时 M 上的向量场 X 称为可投影的，如果对任何 y 属于 N, \operatorname{d}\!\phi_x(X_x) 与 x 属于 \phi^{-1}(\{y\}) 的取法无关。这恰好是保证 X 的前推可以作为 N 上的一个良定的向量场的条件。
參閲
*拉回
参考文献
- John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
- Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
- Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.
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