数学中，浸没（submersion）是微分流形之间的可微映射，其微分处处为满射。这是微分拓扑中的一个基本概念。浸没与浸入对偶。
定义
令M、N是微分流形，f\colon M\to N是它们间的可微映射。映射f是点p\in M处的浸没，若其微分
:Df_p \colon T_p M \to T_{f(p)}N
是线性满射。这种情况下，p被称作映射f的正则点（regular point）；否则，p就是临界点。若原像f^{-1}(q)中所有的点p都是正则点，则点q\in N是f的正则值。在每点p\in M上都是浸没的可微映射f也称作浸没，等价地，若f的微分Df_p的秩等于N的维度，则f是浸没。
需要注意：有人用“临界点”描述f的雅可比矩阵的秩不取最大值的点。这在奇异理论中是更有用的概念。若M的维度不小于N的维度，则这两个临界点的概念是重合的；但若M的维度小于N的维度，则据上述定义，所有点都是临界点（微分不可能是满射），而雅可比矩阵的秩仍可能是最大的（若等于M的维度）。上述定义更常用，如在萨德定理的表述中。
浸没定理
给定m维、n维光滑流形之间的浸没f\colon M\to N，\forall x \in M，有围绕x的M的满射图（chart） \phi : U \to \R^m 、围绕f(x) 的N的\psi : V \to \R^n，使得f限制到浸没f \colon U \to V，用坐标表示为\psi \circ f \circ \phi^{-1} : \R^m \to \R^n ，就变为普通的正交投影。应用中，\forall p \in N，f对应的纤维表示为M_p = f^{-1}(\{p\})，可配备M的光滑子流形结构，其维度等于N与M维度之差。
该定理是反函数定理的结果（见反函数定理#流形）。
例如，考虑f\colon \R^3 \to \R由f(x,y,z) = x^4 + y^4 +z^4给出。雅各比矩阵是
:\begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4x^3 & 4y^3 & 4z^3 \end{bmatrix}.
除原点外，这在每一点都有最大秩。另外，纤维
:f^{-1}(\{t\}) = \left\{(a,b,c)\in \R^3 : a^4 + b^4 + c^4 = t\right\}
在t 时是空集，t = 0时等于一个点。因此，我们只有一个光滑浸没f\colon \R^3\setminus \{(0,0,0)\}\to \R_{>0},与子集M_t = \left\{(a,b,c)\in \mathbb{R}^3 : a^4 + b^4 + c^4 = t\right\}是t > 0时的2维光滑流形。
示例
- 任何投影\pi\colon \R^{m+n} \rightarrow \R^n\subset\R^{m+n}
- 局部微分同胚
- 黎曼浸没
- 光滑向量丛或更一般的光滑纤维化中的投影。微分的满射性是局部平凡化存在的必要条件。
球面之间的映射
浸没的一大类例子是高维球面之间的浸没，例如
:f:S^{n+k} \to S^k
其纤维维度为n，这是因为纤维（元素p \in S^k的反像）是n维光滑流形。那么，若取路径
:\gamma: I \to S^k
并取拉回
:\begin{matrix}
M_I & \to & S^{n+k} \\
\downarrow & & \downarrow f \\
I & \xrightarrow{\gamma} & S^k
\end{matrix}
就得到了一种特殊的协边的例子，称作有框架协边。实际上，有框协边群\Omega_n^{fr}与稳定同伦群密切相关。
代数簇族
另一大类浸没由代数簇\pi:\mathfrak{X} \to S给出，其纤维是光滑代数簇。若考虑其底流形，则得到光滑流形。例如椭圆曲线的魏尔施特拉斯族\pi:\mathcal{W} \to \mathbb{A}^1是被广泛研究的浸没，因为其包含了许多用于展示更复杂理论的技术，如交同调与错致层。这一族来自\mathcal{W} = \{(t,x,y) \in \mathbb{A}^1\times \mathbb{A}^2 : y^2 = x(x-1)(x-t) \}
其中\mathbb{A}^1是仿射线，\mathbb{A}^2是仿射平面。由于考虑的是复簇，它们等价于复线与复平面\mathbb{C},\mathbb{C}^2。注意我们实际上应该去掉t = 0,1，因为那里有奇点（有双根）。
局部正规形式
若f:\ M\to N是p处的浸没，f(p)=q\in N，则在M中存在p的开邻域U、在N中存在q的开邻域V，在p处有局部坐标(x_1,\ \ldots,\ x_m)，在q处有局部坐标(x_1,\ \ldots,\ x_n)，使得f(U)=V，且在这些局部坐标中的映射f是标准投影
: f(x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}, \ldots, x_m) = (x_1, \ldots, x_n).
可知，在可微映射f:\ M\to N的作用下，N中的正则值q在M中的全原像f^{-1}(q)要么是空的，要么是{\rm dim}M-{\rm dim}N维微分流形，但可能不连通。这是正则值定理的内容（也叫浸没定理）。尤其是，若f是浸没，则\forall q\in N，结论都成立。
拓扑流形的浸没
一般拓扑流形的浸没也是良定义的。拓扑流形浸没是连续满射f:\ M\to N，使得\forall p\in M，对p上的某连续图ψ、f(p)处的φ，映射\psi^{-1}\circ f\circ\varphi等于射影映射\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n（m={\rm dim}(M)\ge n={\rm dim}(N)）。
另见
- 埃雷斯曼纤维化定理
脚注
参考文献
*
*
*
*
*
*
*
*
*
阅读更多
*https://mathoverflow.net/questions/376129/what-are-the-sufficient-and-necessary-conditions-for-surjective-submersions-to-b?rq=1
评论 (0)