物質導數

在連續介質力學中，物質導數（）描述一些物理量（如熱量或動量）的變動率，而該物質元受制於由時間和空間決定的宏觀向量場。物質導數可作為連續介質力學對形變的歐拉和拉格朗日描述之間的連結。

例如在流體動力學中，向量場為流速，而感興趣的量可能為流體溫度。在這種情況下，物質導數描述的就是某一流體塊沿其（軌跡）流動時隨時間的溫度變化。

其他名稱
物質導數有很多其他名稱，包括：
*隨流導數（advective derivative）
*對流導數（convective derivative）
*隨體導數（derivative following the motion）
*隨質點導數（particle derivative）
*隨質導數（substantial derivative）
*實質導數（substantive derivative）
*斯托克斯導數（Stokes derivative），雖然物質導數實際上是全導數的特殊個案。
只有這個包含流速的空間項在描述場流中的運輸作用，而另一個項只是在描述場的內稟差異，因此與任何流的存在無關。令人混亂的是，有時會使用“對流導數”一詞來稱呼整個物質導數D/Dt，而不是稱呼u·∇這個空間項：

:[\left(\mathbf{u}\cdot\nabla \right)\mathbf{A}]_j =
\sum_i \frac{u_i}{h_i} \frac{\partial A_j}{\partial q^i} + \frac{A_i}{h_i h_j}\left(u_j \frac{\partial h_j}{\partial q^i} - u_i \frac{\partial h_i}{\partial q^j}\right),

其中hi 與度量張量的關係由下式表示：

:h_i = \sqrt{g_{ii}}.

在三維平面直角坐標系(x, y, z)的特殊個案中，當中A為1-張量（有三個分量的向量），則其物質導數只是：

:(\mathbf{u}\cdot\nabla) \mathbf{A} =
\begin{pmatrix}
\displaystyle
u_x \frac{\partial A_x}{\partial x} + u_y \frac{\partial A_x}{\partial y}+u_z \frac{\partial A_x}{\partial z}
\\
\displaystyle
u_x \frac{\partial A_y}{\partial x} + u_y \frac{\partial A_y}{\partial y}+u_z \frac{\partial A_y}{\partial z}
\\
\displaystyle
u_x \frac{\partial A_z}{\partial x} + u_y \frac{\partial A_z}{\partial y}+u_z \frac{\partial A_z}{\partial z}
\end{pmatrix}.

另見

• 纳维-斯托克斯方程
• 欧拉方程 (流体动力学)
• 李导数
• 列维-奇维塔联络

參考資料
延伸閱讀
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