卡拉比-丘流形
代数几何与微分几何中，卡拉比-丘流形（Calabi–Yau manifold）是第一陈类为0的紧n维凯勒流形（Kähler manifolds），也叫做*卡拉比-丘 n-流形。其是里奇平坦流形，在理论物理学中有应用；特别是在超弦理论中，时空的额外维度有时被猜测为6维卡拉比-丘流形的形式，从中产生了镜像对称等想法。“卡拉比-丘流形”的名称最早见于，得名于猜想这种曲面存在的、，与证明了卡拉比猜想的。 卡拉比-丘流形是复流形，是K3曲面在任意…
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代数几何
。]] 代数几何（）是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点。现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线，比如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线、三次曲线（非奇异情形称作椭圆曲线）、四次曲线（如双纽线，以及卵形线）、以及一般n次曲线。代数几何的基本问题涉及对代数簇的分类，比如考虑在双有理等价意义下的分类，…
镜像对称 (弦理论)
在代数几何和理论物理中，镜像对称是指卡拉比-丘流形之间的一种特殊关系，即两种卡丘流形虽然在几何上差别很大，但是作为弦理论的额外维度时却是等价的。这样的一对流形被称为镜像流形。 镜像对称最早是由物理学家发现的。1990年左右，、齐妮娅·德·拉·奥萨（Xenia de la Ossa）、保罗·格林（Paul Green）和琳达·帕克斯（Linda Parks）发现它可以用于枚举几何，因此激发了数学家对此的兴趣。枚举几何是研究几何问题解的数量…
概形
概形（）是代數幾何學中的一個基本概念。概形是由亞歷山大在他1960年的论文《代數幾何基礎》中提出的，其中一個目的是為了解決代数几何中的一些問題，例如。建立在交換代數的基礎之上，概形理論允許使用拓扑学、同調代數中有系統的方法。概形理論也將許多代數幾何和數論的問題統一，這也使得懷爾斯得以證明费马最后定理。 定義 給定一個局部賦環空間(X, \mathcal{O}_X)，如果對X的一個開集V，(V, \mathcal{O}_X|_V)是仿射概…
代数簇
代数簇、代數區體，亦作代數多樣體，是代數幾何學上多项式集合的公共零点解的集合。代数簇是古典（某种程度上也是近现代）代数几何的中心研究对象。 術語簇（variety）取自拉丁语族中詞源（cognate of word）的概念，有基於“同源”而“變形”之意。 历史上，代数基本定理建立了代数和几何之间的一个联系，它表明在复数域上的单变量的多项式由它的根的集合决定，而根集合是内在的几何对象。在此基础上，希尔伯特零点定理提供了多项式环的理想和仿射…
餘調
在同調論與代數餘鏈中，餘調（）表示由與拓樸空間相關的阿貝爾群組成的序列，經常由餘鏈復形定義。餘調可以被視為給予空間（比同調）更豐富的代數不變量的方式。某些餘調是將同調的建構對偶化產生的。換言之，餘鏈是同調論中鏈群上的函數。 這個概念一開始是在拓撲學中，到20世紀後半變成數學的一個主要方法。從原先將同調作為建構拓樸空間的代數不變量的方法，現今同調與餘調理論的應用已遍布幾何與代數。餘調是個反變的理論，而在很多應用中比同調更自然，但術語使上述…
格罗莫夫–威滕不变量
辛拓扑和代数几何中，格罗莫夫–威滕（GW）不变量是有理数，某些情形下可计算在给定辛流形中符合给定条件的伪全纯曲线。GW不变量可打包为适当空间中的同调或上同调类，或量子上同调的上积。这些不变量可用于区分辛流形（以前无法区分），在闭IIA型弦论中起着至关重要的作用。它们得名于米哈伊尔·格罗莫夫和爱德华·威滕。 格罗莫夫-威滕不变量的严格数学定义冗长而困难，在稳定映射条目中单独讨论。本文的重点在直观解释不变量的含义、计算方法及其重要性。 定义…
解析几何
解析几何（），又稱為坐标几何（Coordinate geometry）或卡氏幾何（Cartesian geometry），早先被叫作笛卡兒几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。 在中学课本中，解析几何被简单地解释为：采用数值的方法…
量子上同调
辛拓扑和代数几何中，量子上同调环是闭辛流形的普通上同调环的推广。有“小环”和“大环”两种定义，一般来说后者更复杂，包含的信息也更多。系数环（一般是诺维科夫环）的选择也会对其结构产生重大影响。 普通上同调的上积描述了子流形如何相交，而量子上同调的量子上积则描述了子空间如何以“模糊”“量子”的方式相交。更确切地说，若它们通过伪全纯曲线相连接，就是相交的。计算曲线的格罗莫夫-威滕不变量在量子上积的展开式中作为系数出现。 量子上同调表达了格罗莫…
广义黎曼猜想
黎曼猜想是数学中最重要的猜想之一，描述了黎曼ζ函数非平凡零点的分布规律。而其中黎曼ζ函数可以用各种整体L函数（global L-function）替代，由此得到黎曼猜想不同类型的推广。这些推广的猜想描述的是不同L函数非平凡零点分布的规律。许多数学家相信这些猜想是正确的。不过其中仅有部分函数域情形下的推广得到了证明。 整体L函数可以与椭圆曲线、数域（此时称为戴德金ζ函数）、马斯形式（Maass form）或狄利克雷特征（此时称为狄利克雷L…
叠 (数学)
叠（Stack）或2层（2-sheaf）是在范畴而非集合上取值的层。叠用于形式化下降理论的一些主要构造，以及在不存在精细模空间时构造精细模叠。 下降理论关注的是同构、相容几何对象（如拓扑空间上的向量丛）可在拓扑基的限制之下“粘合在一起”的情形的推广。在更一般的情景中，限制推广为拉回；纤维范畴是讨论这种粘合的可能性的良好框架。叠的直观含义是“所有粘合都有效”的纤维范畴。要说明粘合，就要定义能考虑粘合的覆盖；事实证明，描述覆盖的通用语言就是…
非交换代数几何
非交换代数几何是非交换几何的一个方向，研究非交换代数对象（如环）的形式对偶的几何性质，以及由它们导出的几何对象（如由沿局部胶合或取非交换叠商）的几何性质。 例如，非交换代数几何通过适当地粘合非交换环的谱，来推广概形，已经取得了部分成功。非交换环推广了交换概形上的交换正规函数环。在传统（交换）代数几何中，空间上的函数有由逐点乘积定义的积，函数的值交换时，函数也交换：a\times b=b\times a。值得注意的是，将非交换结合代数视作…
A无穷代数
A无穷代数（，或 \;A_{\infty}\;-algebra）是吉姆·斯塔谢夫（）在1960年代研究H-空间的乘法的结合性时发现的一种代数结构，又称为强同伦结合代数（）。1970年代陈国才（K.-T. Chen）和T.V. Kadeishvili在一个流形的同调群上用不同的方法各自发现了一种A无穷代数结构。1990年代深谷贤治在研究辛流形的拉格朗日Floer同调（）时推广了斯塔谢夫的概念，称为A无穷范畴（，\;A_{\infty}\;…
代數幾何基礎
《代數幾何基礎》（，簡稱，又譯“代數幾何原理”）是亞歷山大·格羅滕迪克在讓·迪厄多内協助下寫作的一部代數幾何專著。從1960年到1967年分八部分發表在《高等科學研究所數學出版物》（）上，共1700餘頁。該書把代數幾何的基礎系統地建立在概形的概念之上。這部著作被視爲現代代數幾何的奠基之作和基本參考書。 各章標題如下： :第一章 概形之語言（） :第二章 對幾類態射之初等整體研究（） :第三章 對凝聚層之上同調研究（） :第四章 對概形和…
隐函数
在數學中，隱式方程（）是形同f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0的關係，其中f是多元函數。比如單位圓的隱式方程是x^2+y^2-1=0。 隱函数（）是由隱式方程間接定義的函數，比如 y=\sqrt{1-x^2} 是由 x^2+y^2-1=0 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如y=\cos(x)。 隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。 例子 反函数 隐函数…
格羅滕迪克-泰希繆勒群
格羅滕迪克-泰希繆勒群是一種辮群外自同構的推廣、完備化；弗拉基米爾·德林費爾德在它1990年的論文中提出，來研究擬三角擬Hopf代數的對稱結構。 定義 設 P是4條絮的純辮群 Ti 是P的元，交換第i 條和第(i+1)條絮 Pij:= (Tj-1,.......Ti+1)Ti2(Tj-1,.......Ti+1)−1 －（凡親i nil是F2的零冪完備化 設_GT_(k) 由符合下列方程的序對(λ,f)組成： λ∊k f∊F2nil f…
束 (幾何學)
几何学裡的束是指一群有共同性質的同類幾何物件。例如在平面上通過某一點直线的集合，或是在平面上通過某二點圆的集合。 雖然束的定義比較含糊，但共同特點是束是由某一個參數所定義，而根據其中任兩個參數，就可以確定此參數。若要強調這類的束所具有的二維特性，有時也會稱為平面束。 束裡面可以包括任何幾何物件。常見的有直線、平面、圓、圓錐、球、以及一般曲線。甚至也可以是點。點束就是某一直線上的所有點。 相關條目 纤维化 (数学) 轨迹 腳註 參考資料 …
超曲面
超曲面（）是几何中超平面概念的一种推广。假设存在一个n维流形M，则M的任一(n-1)维子流形即是一个超曲面。或者可以说，超曲面的餘維數为1。 在代数几何中，超曲面是指n维射影空间上的一个(n-1)维的代数集。它可由方程F = 0来定义，其中F是齐次坐标下的一个齐次多项式。由于可能存在奇点，严格地说这并不是一个子流形。 参见 超平面 超球体 超空间 仿射球体 参考资料 Kobayashi and Nomizu (1969), Founda…
层 (数学)
数学中，层（sheaf，或译束、捆）是一种系统地追踪数据的工具。数据附着在拓扑空间的开集上，局部定义于开集本身。例如，数据可以是定义在开集上的连续函数环。这些数据的行为是良好的：可限制在更小的开集中，而且（直观地说）每个数据都是其组成数据之和。这样，它们是研究有局部本质的实体的全局行为的自然工具，例如开集，解析函数，流形，等等。 研究层的数学领域叫做层论（sheaf theory）。 从概念上讲，层是比较一般、抽象的数学对象，其正确定义…
格拉斯曼流形
在数学中，格拉斯曼流形是一个向量空间 V 的给定维数的所有线性子空间。例如，格拉斯曼流形 Gr1(V) 是 V 中过原点直线的空间，从而与射影空间 PV 相同。格拉斯曼流形以赫尔曼·格拉斯曼命名。 引言 通过给定子空间一个拓扑结构可以谈论子空间的一个连续选取或子空间集合的一个开集或闭集；通过给它们一个微分流形结构可以考虑子空间的光滑选取。 一个自然的例子来自嵌入在欧几里得空间中光滑流形的切丛。假设我们有一个 r 维流形 M 嵌入在 \m…