模型范畴
在数学、尤其是同伦论中，模型范畴是带有弱等价、纤维化和上纤维化这三类态射的范畴，是从传统的拓扑空间或链复形的同倫範疇（即导出范畴）中抽象化得来。模型范畴的概念最初由丹尼尔·奎伦引入。 近年来，模型范畴的语言应用到了代数K理论和代数几何的部分研究中。在这些分支中，使用同伦论的研究方法得出过深刻的结果。 动机 模型范畴提供了研究同伦论的一个自然的环境：拓扑空间的范畴就是一个模型范畴，其中同伦正是一般意义上的同伦。相似地，许多可以视为拓扑空间…
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拓撲斯
数学中, Grothendieck 拓扑斯（topos, , 复数形式 topoi, ）为一类范畴, 行为类似拓扑空间(或者更一般地, 景上集合的层范畴. 拓扑斯的行为也与集合范畴相当相似, 并具有局部化的概念.Grothendieck 拓扑斯应用于代数几何, 其由基本拓扑斯所推广, 后者应用于逻辑中. 研究拓扑斯的数学领域即称拓扑斯理论. 简介 20 世纪 40 年代数学引入層論以降, 经由研究空间上的层来研究空间本身便跻身核心课题之…
单纯集合
数学裡，单纯集合（）是范畴同伦论中一个构造，这是“良态”拓扑空间的一个纯代数模型。历史上，这个模型源自组合拓扑学特别是单纯复形。 引言 拓扑空间可从单形以及它们的接合关系（或准确地说表示为差一个同伦）构造出来，单纯集合是抓住这一点的范畴（即纯代数）模型。这类似于拓扑空间的 CW复形模型，本质区别是单纯集合是纯代数的，本身不带任何拓扑（这在给出正式定义后将见到）。 为了得到真正的拓扑空间，有一个几何实现函子，取值于紧生成豪斯多夫空间范畴。…
高维代数
在数学中，特别是（高阶）范畴论中，高维代数是指对范畴化结构的研究。其在非阿贝尔代数拓扑与抽象代数的推广中有应用。 高维范畴 定义高维代数的第一步是高阶范畴论中2-范畴的概念，以及二阶范畴的更“几何化”的概念。 更高级的概念因此定义为范畴的范畴，或称为超范畴。这将范畴的标记推广到高维——范畴被视为可以解释抽象范畴基本理论（ETAC）的劳维尔公理的任何结构。 因此，超范畴可被视作元范畴、多范畴、多图或有色图。 超范畴的概念于1970年被首次…
範疇 (數學)
在范畴论中，范畴这一概念代表一些数学对象及这些对象间的一些关系，以及这些关系之间的关系。利用范畴可以公式化抽象结构并保留结构上的关系，如运算。范畴几乎可以出现于现代数学的任意分支，同时也统合了这些分支的底层理念。对范畴本身的研究就称作范畴论。 定義 范畴 一个范畴 \mathcal C 意指资料 (\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}, \mathrm{Mor\ }{\mathcal C};\circ )，其中： 一個由对…
泛性质
在数学的很多分支，经常用“在给定某些条件下存在唯一态射”这种形式的性质来定义一些构造。这种性质统称为泛性质（），有时也称为万有性。范畴论研究泛性质。 了解泛性质最好先研究一些例子。如：群积、直和、自由群、积拓扑、斯通-切赫紧致、张量积、反极限、直极限、核与上核、拉回、推出、等子等。 定义 设U : D → C为一函子，X为C的对象。从X到U的泛态射为偶(A, φ)，其中A为D的对象，φ : X → U(A)为C中满足如下泛性质的态射： …
叠 (数学)
叠（Stack）或2层（2-sheaf）是在范畴而非集合上取值的层。叠用于形式化下降理论的一些主要构造，以及在不存在精细模空间时构造精细模叠。 下降理论关注的是同构、相容几何对象（如拓扑空间上的向量丛）可在拓扑基的限制之下“粘合在一起”的情形的推广。在更一般的情景中，限制推广为拉回；纤维范畴是讨论这种粘合的可能性的良好框架。叠的直观含义是“所有粘合都有效”的纤维范畴。要说明粘合，就要定义能考虑粘合的覆盖；事实证明，描述覆盖的通用语言就是…
广群
在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，广群（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为： 以偏函数取代二元运算的群； 所有态射都可逆的范畴。这一类范畴可被视作增加了一种一元运算，与群论中的逆元相对应。 只有一个对象的广群一般是群。 在存在依赖类型的情况下，一般来说，一个范畴可视作是类型化的幺半群；广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族，于是态射可以是类型化的g:A…
极限
极限可以指： 數學 极限 (数学) 函數極限 数列极限 網 (數學) 极限 (范畴论) 极限点 上极限和下极限 流行文化 極限 (專輯)，徐佳瑩的專輯 Limit 界限，末延景子的漫畫作品 極限運動
元素 (范畴论)
范畴论的元素（），或点（），将集合论中集合元素的概念更推广到任何范畴的对象。通常情况下，这一想法重新表述了泛性质态射（如單態射和积）的定义及属性，用更普遍的术语映射其与元素的关系，從而使態射和元素可以互相轉換。米田引理和等一些普遍結論說明此種轉換為何成立。这种范畴论的方法（尤其是對米田引理的運用）由格罗滕迪克提出，通常被称为点函子方法（）。 定义 假设范畴C拥有A ， T两个对象。 A的T值点只是一个p \colon T \to A的态…
格羅滕迪克-泰希繆勒群
格羅滕迪克-泰希繆勒群是一種辮群外自同構的推廣、完備化；弗拉基米爾·德林費爾德在它1990年的論文中提出，來研究擬三角擬Hopf代數的對稱結構。 定義 設 P是4條絮的純辮群 Ti 是P的元，交換第i 條和第(i+1)條絮 Pij:= (Tj-1,.......Ti+1)Ti2(Tj-1,.......Ti+1)−1 －（凡親i nil是F2的零冪完備化 設_GT_(k) 由符合下列方程的序對(λ,f)組成： λ∊k f∊F2nil f…
对偶 (范畴论)
在范畴论中，对偶是从范畴 \mathcal C 的性质到其反范畴的对偶性质间的对应关系。给定范畴 \mathcal C, 交换每个态射的起点与终点，并交换每个态射复合的顺序，得到对偶态射总体 \operatorname{Mor} {\mathcal C^\mathrm{op}}, 连带原本的对象总体 \operatorname{Ob} {\mathcal C}=\operatorname{Ob} {\mathcal C^\mathrm{…
么半範疇
張量範疇（tensor category），或曰幺半範疇（monoidal category）， 直覺地講，是個配上張量積的阿貝爾範疇（abelian category），可當作環的範疇化。 定義 數學中，一個張量範疇（tensor category，或稱幺半範疇 monoidal category）是一個包含單一個對象的雙範疇）bicategory）。 更具體的描述：一個張量範疇是 一個範疇 \mathbb C; 被賦予張量積，即一個…
范畴论
範疇論（）是數學的一門學科，是关于数学结构及其关系的一般理论，以抽象的方法處理數學概念，將這些概念形式化成一組組的「物件」及「態射」。數學中許多重要的領域可以形式化為範疇。使用範疇論可以令這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論更容易敘述證明。 一个范畴包含两类数学对象：物件与态射。以集合範疇为例，其物件為集合，態射為集合間的函數。若以第一个态射的目标为源发出第二个态射，这样形成的“复合态射”的性质同复合函数类似（存在结合律与单位态射）。…
抽象废话
在数学中，抽象废话，泛化抽象废话和泛化废话（）是一些数学家用于描述范畴论中的某些概念和方法的幽默用语。 粗略地讲，范畴论是研究数学理论的泛化形式，而不考虑其内容的学科。因此，一个基于范畴论的证明在那些并不习惯这样的抽象的人看来就会有些不知所云，甚至看起来像是滑稽的不合逻辑推论。有时，这样的证明就会被称作「抽象废话」以轻巧地提醒人们它们的抽象特性。 一般而言，「抽象废话」可以泛指任何使用基本范畴论方法的证明（无论幽默与否），或是指对范畴论…
层 (数学)
数学中，层（sheaf，或译束、捆）是一种系统地追踪数据的工具。数据附着在拓扑空间的开集上，局部定义于开集本身。例如，数据可以是定义在开集上的连续函数环。这些数据的行为是良好的：可限制在更小的开集中，而且（直观地说）每个数据都是其组成数据之和。这样，它们是研究有局部本质的实体的全局行为的自然工具，例如开集，解析函数，流形，等等。 研究层的数学领域叫做层论（sheaf theory）。 从概念上讲，层是比较一般、抽象的数学对象，其正确定义…
笛卡儿闭范畴
在范畴论中，如果任何积的态射都可通过其某个因子的态射来自然确定，那么称该范畴具有笛卡儿闭性。此类范畴在数理逻辑和程序设计理论中尤为重要。 定义 称满足下列三个条件的范畴 C 具有笛卡儿闭性： C 有终对象； C 有积: C 包含任意对象 X 、Y 的积 X×Y ； C 有幂: C 包含任意对象 Y 、Z 的幂 Z*Y 。 举例 范畴Set(以集合为对象，函数为态射)具有笛卡儿闭性。定义 X×Y 为 X 和 Y 的笛卡儿积，Z*Y 为从 …
格罗滕迪克伽罗瓦理论
数学中，格罗滕迪克伽罗瓦理论（）是域的伽罗瓦理论的一种抽象方法，为代数几何背景下研究代数拓扑的基本群提供了一种方法，大约发展于1960年前后。格罗滕迪克伽罗瓦理论在经典域论背景下提供了一种不同于埃米尔·阿廷的线性代数视角，后者在1930年代成为标准。 亚历山大·格罗滕迪克的方法关注范畴论性质，是定投射有限群（profinite group）G的有限G集合范畴的特征。例如，G可能是表为\hat{\Z}的群，是循环加性群\Z/n\Z的逆极限…
范畴化
数学中，范畴化是将集合论的定理替换为范畴论类似物的过程。成功的范畴化会将集合替换为范畴，将函数替换为函子，将方程替换为自然变换或函子。 范畴化的逆叫做“去范畴化”，是将范畴内同构的物件在态射意义下视同相等的系统化过程。去范畴化往往比范畴化更简单。李代数的表示论和特定代数上的模都是这种研究的合适物件。有几种对这样的模进行范畴化的框架，如所谓（弱）阿贝尔范畴。 范畴化和去范畴化不是精确的数学过程，而是一类可能的相似物。这种过程与“广义化”之…
范畴的等价
在数学的一个抽象分支范畴论中，范畴的等价（）是两个范畴间的一个关系，在这种关系之下的范畴是“本质上一样的”。从数学的许多地方都有范畴等价的例子。建立一个等价涉及展示所考虑的数学结构间很强的相似性。在许多情形，这些结构表面或直觉上看并无关联，这样就使这种概念特别有用：它提供了在不同数学结构之间翻译的可能性，本质一语是指在翻译中保持的定理。 如果一个范畴等价于另一个范畴的反范畴，则我们说“范畴的对偶性”，以及这两个范畴对偶等价。 范畴的等价…